[论文解读] W-algebras for Argyres-Douglas theories

Thomas Creutzig|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2017

Algebraic structures and combinatorial models被引用 5

一句话总结

该论文通过量子哈密顿约化，识别出对应于$A_{\text{odd}}$和$D_{\text{even}}$型Argyres-Douglas理论的顶点算子代数（VOA）。它证明了$(A_1, A_{2p-3})$理论的Schur指标与对数型$\mathcal{B}_p$-代数的特征函数一致，而$(A_1, D_{2p})$理论的Schur指标则与在水平$k = -(p^2-1)/p$处由$L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$通过量子哈密顿约化构造的非正则$\mathcal{W}_p$-代数的特征函数一致，从而证实了这些特征函数模形式性质的猜想。

ABSTRACT

The Schur-index of the $(A_1, X_n)$-Argyres-Douglas theory is conjecturally a character of a vertex operator algebra. Here such vertex algebras are found for the $A_{ ext{odd}}$ and $D_{ ext{even}}$-type Argyres-Douglas theories. The vertex operator algebra corresponding to $A_{2p-3}$-Argyres-Douglas theory is the logarithmic $\mathcal B_p$-algebra of [1], while the one corresponding to $D_{2p}$, denoted by $\mathcal W_p$, is realized as a non-regular Quantum Hamiltonian reduction of $L_{k}(\mathfrak{sl}_{p+1})$ at level $k=-(p^2-1)/p$. For all $n$ one observes that the quantum Hamiltonian reduction of the vertex operator algebra of $D_n$ Argyres-Douglas theory is the vertex operator algebra of $A_{n-3}$ Argyres-Douglas theory. As corollary, one realizes the singlet and triplet algebras (the vertex algebras associated to the best understood logarithmic conformal field theories) as Quantum Hamiltonian reductions as well. Finally, characters of certain modules of these vertex operator algebras and the modular properties of their meromorphic continuations are given.

研究动机与目标

• 识别与$A_{\text{odd}}$和$D_{\text{even}}$-型Argyres-Douglas理论的Schur指标对应的顶点算子代数（VOA）。
• 将$(A_1, D_{2p})$-型理论的VOA构造为在水平$k = -(p^2-1)/p$下对$L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$进行非正则量子哈密顿约化的结果。
• 验证这些理论的Schur指标与相应VOA的特征函数一致。
• 建立单代数和三重代数作为量子哈密顿约化的结果。
• 通过特征函数的梅雷罗姆延拓，提供模形式数据以获得不定指标的向量值雅可比形式。

提出的方法

• 在水平$k = -(p^2-1)/p$下对$L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$应用量子哈密顿约化，以构造$\mathcal{W}_p$-代数。
• $\mathcal{B}_p$-代数被识别为与$A_{2p-3}$-型Argyres-Douglas理论相关的对数型代数。
• 计算模的特征函数，并将其解析延拓为不定指标的梅雷罗姆雅可比形式。
• 利用谱流自同态生成模，研究其特征函数的模性质。
• 通过特征函数匹配，建立$\mathcal{W}_p$与$\mathcal{X}_p = \bigoplus_{m=0}^\infty L(m) \otimes (F_{-\lambda m} \oplus \cdots \oplus F_{\lambda m})$之间的对应关系。
• 对$\mathcal{W}_p$、$\mathcal{C}_p$和$\mathcal{Y}_p$应用$+$-约化函子$H_+^0$，以恢复已知的VOA，如$\mathcal{B}_p$、$\mathcal{M}(p)$和$\mathcal{W}(p)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 $(A_1, A_{2p-3})$-型Argyres-Douglas理论的Schur指标是否与$\mathcal{B}_p$-代数的特征函数匹配？
• RQ2 $(A_1, D_{2p})$-型Argyres-Douglas理论的Schur指标能否被实现为在水平$k = -(p^2-1)/p$下对$L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$进行非正则量子哈密顿约化的结果的特征函数？
• RQ3 $\mathcal{W}_p$-代数的模的特征函数是否能被梅雷罗姆延拓为不定指标的向量值雅可比形式？
• RQ4 $\mathcal{W}_p$-代数是否通过$L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathcal{H}$的构造与某个特定$\mathcal{X}_p$模同构？
• RQ5 对$\mathcal{W}_p$、$\mathcal{C}_p$和$\mathcal{Y}_p$应用$+$-约化函子$H_+^0$是否能恢复已知的$\mathcal{B}_p$、$\mathcal{M}(p)$和$\mathcal{W}(p)$-VOA？

主要发现

• 在中心荷$c_p[\mathcal{B}_p] = 2 - 6(p-1)^2/p$下，$\mathcal{B}_p$-代数的特征函数与$(A_1, A_{2p-3})$-型Argyres-Douglas理论的Schur指标一致。
• 在中心荷$c_p[\mathcal{W}_p] = 4 - 6p$下，$\mathcal{W}_p$-代数的特征函数与$(A_1, D_{2p})$-型Argyres-Douglas理论的Schur指标一致。
• $\mathcal{W}_p$-代数被实现为在水平$k = -(p^2-1)/p$下对$L_k(\mathfrak{sl}_{p+1})$进行非正则量子哈密顿约化的结果，该水平为边界适定水平。
• 证明了$\mathcal{W}_p$的特征函数等于$L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathcal{H}$-模$\mathcal{X}_p$的特征函数，从而建立了模层面的同构。
• $\mathcal{W}_p$-代数包含$L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathcal{H}$的共形嵌入，且作为$L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathcal{H}$-模有$\mathcal{W}_p \cong \mathcal{X}_p$。
• $+$-约化函子$H_+^0$将$\mathcal{W}_p$映射到$\mathcal{B}_p$，将$\mathcal{C}_p$映射到$\mathcal{M}(p)$，将$\mathcal{Y}_p$映射到$\mathcal{W}(p)$，从而证实了该猜想的对应关系。