[论文解读] W-exponentials, Schur elements, and the support of the spherical representation of the rational Cherednik algebra

Stephen Griffeth, Daniel Juteau|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 4

一句话总结

该论文利用复反射群的 $W$-指数函数和有限 Hecke 代数的 Schur 元素，计算了有理 Cherednik 代数中球面不可约表示 $L_c(\mathbf{1})$ 的支集。关键结果表明，支集是某个 $W$-轨道的 strata 的闭包，其中 strata 属于支集当且仅当某个重整化的 $W$-指数函数非零，而这恰好发生在与抛物子群相关的相对 Schur 元素在参数空间的正超平面上不为零时。

ABSTRACT

Given a complex reflection group W we compute the support of the spherical irreducible module of the rational Cherednik algebra of W in terms of the simultaneous eigenfunction of the Dunkl operators and Schur elements for finite Hecke algebras.

研究动机与目标

• 确定复反射群 $W$ 的有理 Cherednik 代数 $H_c(W)$ 中球面不可约模 $L_c(\mathbf{1})$ 的支集。
• 将支集计算问题归约为与每个 strata $S$ 相关的重整化 $W$-指数函数 $F_S(c)$ 的零点集。
• 建立一个统一的标准，用于判断 $L_c(\mathbf{1})$ 是否为有限维，利用与抛物子群相关的有限 Hecke 代数的 Schur 元素。
• 将已知的实反射群及无限族 $G(r,1,n)$ 的结果推广至所有复反射群。

提出的方法

• 将 $W$-指数函数 $e(x,\lambda,c)$ 定义为 Dunkl 算子的联合本征函数，其本征值为 $\lambda$，并归一化为 $e(0,\lambda,c) = 1$。
• 引入一个全纯重整化函数 $F_S(c)$，其零点集可检测 $e(x,\lambda,c)$ 作为 $c$ 的函数的奇点，使得 $F_S(c)e(x,\lambda,c)$ 关于 $c$ 是整函数。
• 利用有限 Hecke 代数 $\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{H}_S$ 的诱导与限制函子之间的双伴随关系，定义相对 Schur 元素 $s(q_c) = |W:W_S|_{q_c}$。
• 证明 $F_S(c)$ 恰好在 $s(q_c)$ 为零的正超平面上消失，从而将支集与 $s(q_c)$ 的非零性联系起来。
• 借助计算机代数系统（CHEVIE）并基于对称形式存在的猜想，显式计算了包括 $G_{34}, E_6, E_7, E_8$ 在内的例外群的 $s(q_c)$。
• 利用参数锥 $c_{H,\chi} \geq 0$ 的正性来分析多项式表示 $\Delta_c(\mathbf{1})$ 的投射性，从而使得 Schur 元素可用于检测平凡表示相对于 $W_S$ 的非投射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些参数 $c$，球面表示 $L_c(\mathbf{1})$ 是有限维的？这一性质能否在所有复反射群中统一刻画？
• RQ2 $L_c(\mathbf{1})$ 的支集如何与 Dunkl 算子的联合本征函数（特别是 $W$-指数函数 $e(x,\lambda,c)$）相关？
• RQ3 Schur 元素在检测 $L_c(\mathbf{1})$ 支集时起着何种精确作用？它们如何推广模表示理论中关于投射性的经典判据？
• RQ4 能否使用相对 Schur 元素 $|W:W_S|_{q_c}$ 统一描述所有复反射群中 $L_c(\mathbf{1})$ 的支集？
• RQ5 Schur 元素 $|W:W_S|_{q_c}$ 在整个正超平面 $C$ 上消失的程度如何？这如何影响支集的结构？

主要发现

• $L_c(\mathbf{1})$ 的支集是 $V$ 中某个 $W$-轨道的 strata 的闭包，其中 strata 由相等的稳定子子群 $W_p = W_q$ 定义。
• strata $S$ 属于 $L_c(\mathbf{1})$ 的支集当且仅当重整化 $W$-指数函数 $F_S(c)$ 非零。
• Schur 元素 $s(q_c) = |W:W_S|_{q_c}$ 恰好在 $F_S(c)$ 消失的正超平面上消失，因此可检测支集的边界。
• 对于所有复反射群，包括例外型 $G_{34}, E_6, E_7, E_8$，Schur 元素被显式计算为分圆多项式 $\Phi_n(x_1)$ 的乘积，且 $|W:W_S|_{q_c}$ 可表示为 $q_c$ 上的洛朗多项式。
• 支集为有限维当且仅当 $c$ 避开所有 $s(q_c)$ 消失的正超平面，从而推广了实反射群和 $G(r,1,n)$ 的先前结果。
• 结果与猜想一致：所有复反射群均存在对称形式，使得可通过 CHEVIE 显式计算 Schur 元素。