[论文解读] Waiter-Client and Client-Waiter Hamiltonicity games on random graphs

Dan Hefetz, Michael Krivelevich+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文确定了在随机图 $\mathcal{G}(n,p)$ 上 Waiter-Client 与 Client-Waiter 哈密顿性游戏的精确阈值概率。对于 $(1:q)$ Waiter-Client 游戏，阈值为 $\log n/n$，与 $q$ 无关；而对于 Client-Waiter 游戏，阈值为 $(q+1)\log n/n$，显示出对 $q$ 的依赖性。结果表明，这些阈值精确界定了每位玩家几乎必然能保证获得哈密顿结果的边概率。

ABSTRACT

We study two types of two player, perfect information games with no chance moves, played on the edge set of the binomial random graph ${\mathcal G}(n,p)$. In each round of the $(1 : q)$ Waiter-Client Hamiltonicity game, the first player, called Waiter, offers the second player, called Client, $q+1$ edges of ${\mathcal G}(n,p)$ which have not been offered previously. Client then chooses one of these edges, which he claims, and the remaining $q$ edges go back to Waiter. Waiter wins this game if by the time every edge of ${\mathcal G}(n,p)$ has been claimed by some player, the graph consisting of Client's edges is Hamiltonian; otherwise Client is the winner. Client-Waiter games are defined analogously, the main difference being that Client wins the game if his graph is Hamiltonian and Waiter wins otherwise. In this paper we determine a sharp threshold for both games. Namely, for every fixed positive integer $q$, we prove that the smallest edge probability $p$ for which a.a.s. Waiter has a winning strategy for the $(1 : q)$ Waiter-Client Hamiltonicity game is $(1 + o(1)) \log n/n$, and the smallest $p$ for which a.a.s. Client has a winning strategy for the $(1 : q)$ Client-Waiter Hamiltonicity game is $(q + 1 + o(1)) \log n/n$.

研究动机与目标

• 确定 Waiter 在 $(1:q)$ Waiter-Client 哈密顿性游戏上于 $\mathcal{G}(n,p)$ 上能保证获得哈密顿结果的精确阈值概率 $p$。
• 确定 Client 在 $(1:q)$ Client-Waiter 哈密顿性游戏上于 $\mathcal{G}(n,p)$ 上能保证获得哈密顿结果的阈值概率 $p$。
• 分析这些阈值对偏差参数 $q$ 的依赖关系，并将其与 $\mathcal{G}(n,p)$ 中哈密顿性的经典阈值进行比较。
• 证明 Waiter-Client 阈值与经典哈密顿性阈值一致，而 Client-Waiter 阈值随 $q$ 线性增长。
• 通过证明两种新型游戏（Waiter-Client 与 Client-Waiter）在随机图上的精确阈值，扩展对位置游戏在随机图上行为的理解。

提出的方法

• 使用概率方法与集中不等式分析 $\mathcal{G}(n,p)$ 在临界边概率下的结构。
• 通过利用盒子游戏框架与独立集，构建 Waiter 策略，使 Client 图中某顶点的度数被隔离至极低。
• 应用 $(1:q)$ 盒子游戏策略，迫使 Client 在其图中获得一个度数为 1 的顶点，从而阻止哈密顿性。
• 利用期望与集中界证明：当 $p = (q+1 - \varepsilon)\log n / n$ 时，几乎必然地，Waiter 可在 Client 图中隔离一个顶点。
• 建立 $\mathcal{G}(n,p)$ 中度数为 $k$ 的顶点数的下界，随后对这些顶点中最大独立集的大小建立下界。
• 通过反证法证明：假设 $p$ 低于阈值，则 Waiter 无法迫使 Client 进入非哈密顿图，从而证明阈值是精确的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathcal{G}(n,p)$ 上，$(1:q)$ Waiter-Client 哈密顿性游戏中，Waiter 拥有必胜策略的精确阈值概率 $p$ 是多少？
• RQ2 在 $\mathcal{G}(n,p)$ 上，$(1:q)$ Client-Waiter 哈密顿性游戏中，Client 拥有必胜策略的精确阈值概率 $p$ 是多少？
• RQ3 Client-Waiter 游戏的阈值如何依赖于偏差参数 $q$？
• RQ4 为何 Waiter-Client 阈值不依赖于 $q$，而 Client-Waiter 阈值却依赖于 $q$？
• RQ5 这些阈值概率能否推广至非恒定的 $q$，例如 $q = O(n)$ 或 $q \leq (1-o(1))n/\log n$？

主要发现

• 对于每个固定的 $q$，$(1:q)$ Waiter-Client 哈密顿性游戏在 $\mathcal{G}(n,p)$ 上的精确阈值为 $p = (1+o(1))\log n / n$，且与 $q$ 无关。
• 对于每个固定的 $q$，$(1:q)$ Client-Waiter 哈密顿性游戏在 $\mathcal{G}(n,p)$ 上的精确阈值为 $p = (q+1+o(1))\log n / n$，其随 $q$ 线性增长。
• Waiter-Client 阈值与 $\mathcal{G}(n,p)$ 中哈密顿性的经典阈值一致，表明 Waiter 可在哈密顿圈几乎必然存在的时刻即获胜。
• Client-Waiter 阈值严格大于经典阈值，反映出在对手提供边的情况下，Client 更难获得哈密顿圈。
• 几乎必然地，当 $p = (q+1 - \varepsilon)\log n / n$ 时，Waiter 可通过利用低度数顶点与独立集，在 Client 图中隔离一个顶点，从而阻止哈密顿性。
• 分析表明，$\mathcal{G}(n,p)$ 中度数为 $k$ 的顶点数量足够大且高度集中，使得 Waiter 能够构建策略，迫使 Client 在阈值以下进入非哈密顿图。