[论文解读] Walking on the Edge and Cosystolic Expansion

Tali Kaufman, David Mass|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文证明，若一个二维正则单纯复形是共面上膨胀图且其底层图的谱间隙大于 1/2，则其边上的高阶随机游走会快速收敛到均匀分布。关键结果表明，边图的谱膨胀（确保快速混合）可由全局组合膨胀与谱间隙条件推出，将经典膨胀图混合结果推广至高维。

ABSTRACT

Random walks on regular bounded degree expander graphs have numerous applications. A key property of these walks is that they converge rapidly to the uniform distribution on the vertices. The recent study of expansion of high dimensional simplicial complexes, which are the high dimensional analogues of graphs, calls for the natural generalization of random walks to higher dimensions. In particular, a high order random walk on a $2$-dimensional simplicial complex moves at random between neighboring edges of the complex, where two edges are considered neighbors if they share a common triangle. We show that if a regular $2$-dimensional simplicial complex is a cosystolic expander and the underlying graph of the complex has a spectral gap larger than $1/2$, then the random walk on the edges of the complex converges rapidly to the uniform distribution on the edges.

研究动机与目标

• 确定二维单纯复形边上高阶随机游走快速混合的充分条件。
• 弥合高维组合膨胀（共面上膨胀）与边图谱膨胀之间的鸿沟。
• 证明若全局共面上膨胀与底层图的谱间隙 > 1/2 同时成立，则基于边的随机游走快速收敛。
• 利用边图的谱性质，将经典膨胀图混合结果从图推广至高维复形。

提出的方法

• 定义边图 $ G_1(X) $，其中顶点为复形的边，若两边缘共用一个三角形则连边。
• 将 $ G_1(X) $ 的边膨胀与复形中顶点的局部视图关联：对子集 $ F \to S $，计算 $ \bigcup_v \text{在 } F \text{ 中且与 } v \text{ 相连的边} $。
• 利用上边界膨胀与局部视图分析，对 $ \big| \bigcup_{v \notin S} \text{在 } F \text{ 中且与 } v \text{ 相连的边} \big| $ 给出下界，将其与全局膨胀联系起来。
• 引入胖化参数 $ \eta $ 以控制局部与全局膨胀之间的权衡，优化边界。
• 利用共面上膨胀常数 $ \epsilon $、度数 $ k_1 $ 与谱间隙 $ \widetilde{\lambda}_2 $，推导 $ \sum_v |\delta(F_v)| $ 的下界。
• 对边图 $ G_1 $ 应用切赫不等式，得到 $ \widetilde{\lambda}_2(G_1) $ 的上界，从而证明谱膨胀与快速混合。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，二维单纯复形边上的高阶随机游走会快速收敛到均匀分布？
• RQ2 二维单纯复形的全局共面上膨胀是否可推出其边图的谱膨胀？
• RQ3 底层图（复形之下的图）的谱间隙在控制基于边的随机游走混合时间方面起什么作用？
• RQ4 是否可能在不假设每个子复形都具有局部谱膨胀的前提下实现快速混合？
• RQ5 复形中局部视图与全局膨胀之间的相互作用如何影响边图的膨胀性质？

主要发现

• 若二维单纯复形是共面上膨胀图且其底层图的谱间隙 $ \widetilde{\lambda}_2 > 1/2 $，则其边图 $ G_1(X) $ 是谱膨胀图。
• 边图 $ G_1(X) $ 的归一化切赫常数满足 $ \widetilde{h}(G_1) \geq \frac{\epsilon}{8} \left( 3\sqrt{(1+2\widetilde{\lambda}_2)^2 + 32} - 2\widetilde{\lambda}_2 - 17 \right) $，表明其具有强膨胀性。
• 边图的第二大特征值 $ \widetilde{\lambda}_2(G_1) $ 满足 $ \widetilde{\lambda}_2(G_1) \leq 1 - \frac{\epsilon^2}{128} \left( 3\sqrt{(1+2\widetilde{\lambda}_2)^2 + 32} - 2\widetilde{\lambda}_2 - 17 \right)^2 $，确保快速混合。
• 边图 $ G_1 $ 是参数 $ \alpha = \widetilde{\lambda}_2(G_1) $ 的 $ \alpha $-谱膨胀图，因此其上的高阶随机游走快速混合。
• 即使局部子复形并非谱膨胀图，该结果依然成立，表明全局共面上膨胀已足够。
• 对 $ \sum_v |\delta(F_v)| $ 的边界通过胖化参数 $ \eta $ 推导得出，该参数优化了膨胀权衡并得出了紧致的谱边界。