[论文解读] Wall-crossing for zero-dimensional sheaves and Hilbert schemes of points on Calabi-Yau 4-folds

Arkadij Bojko|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 94被引用 9

一句话总结

本文在格罗斯–乔伊斯–田中壁穿插猜想的基础上，证明了关于射影卡拉比–丘4流形上0维DT4不变量的曹–库尔猜想，计算了点的希尔伯特纲的虚拟基本类，并通过通用生成函数建立了塞雷–维尔林德对应关系。该研究将尼克拉索夫公式推广至紧致卡拉比–丘4流形，并通过壁穿插机制将4流形上的不变量与椭圆曲面上的Quot-概形联系起来。

ABSTRACT

Gross-Joyce-Tanaka arXiv:2005.05637 proposed a wall-crossing conjecture for Calabi-Yau fourfolds. Assuming it, we prove the conjecture of Cao-Kool arXiv:1712.07347 for 0-dimensional sheaf-counting invariants on projective Calabi-Yau 4-folds. From it, we extract the full topological information contained in the virtual fundamental classes of Hilbert schemes of points which turns out to be equivalent to the data of all descendent integrals. As a consequence, we can express many generating series of invariants in terms of explicit universal power series. i) On $\mathbb{C}^4$, Nekrasov proposed invariants with a conjectured closed form arXiv:1712.08128. We show that an analog of his formula holds for compact Calabi-Yau 4-folds satisfying the wall-crossing conjecture. ii) We notice a relationship to corresponding generating series for Quot schemes on elliptic surfaces which are also governed by a wall-crossing formula. This leads to a Segre-Verlinde correspondence for Calabi-Yau fourfolds.

研究动机与目标

• 将$$\mathbb{C}^{4}$$上的曹–库尔猜想与Nekrasov公式化归为格罗斯–乔伊斯–田中壁穿插猜想。
• 利用壁穿插计算射影卡拉比–丘4流形上点的希尔伯特纲的虚拟基本类。
• 在卡拉比–丘4流形上的DT4不变量与椭圆曲面上的Quot-概形之间建立塞雷–维尔林德对应关系。
• 研究新不变量，包括塞雷类与K-理论插入项，及其通用生成函数。

提出的方法

• 以卡拉比–丘4流形的壁穿插猜想作为基础假设，推导虚拟基本类。
• 在同调与拓扑对上应用顶点代数结构，以建模丛的模空间。
• 采用典型插入项如$c_n(L^{[n]})$与乘法型亏格，以计算虚拟计数。
• 通过壁穿插与上同调插入项，推导不变量生成函数的通用幂级数。
• 依赖Oh–Thomas与Borisov–Joyce的虚拟基本类及其定向数据，用于模空间。
• 通过Quot-概形的障碍理论与拓扑顶点形式，将4流形上的不变量与椭圆曲面上的不变量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将射影卡拉比–丘4流形上0维DT4不变量的曹–库尔猜想，化归为卡拉比–丘4流形的壁穿插猜想？
• RQ2 如何利用壁穿插计算紧致卡拉比–丘4流形上点的希尔伯特纲的虚拟基本类？
• RQ3 卡拉比–丘4流形上DT4不变量的生成函数与椭圆曲面上Quot-概形的生成函数之间存在何种关系？
• RQ4 通过壁穿插机制，DT4不变量是否成立塞雷–维尔林德对应关系？
• RQ5 在壁穿插条件下，尼克拉索夫对$$\mathbb{C}^{4}$$的闭式公式能否推广至紧致卡拉比–丘4流形？

主要发现

• 在壁穿插猜想成立的前提下，证明了射影卡拉比–丘4流形上0维DT4不变量的曹–库尔猜想。
• 希尔伯特纲的虚拟基本类在$\mathcal{C}_X = \text{Map}_{C^0}(X, BU \times \mathbb{Z})$的同调中被显式描述。
• 推导出DT4不变量的通用生成函数，将其表示为以$q$为变量的幂级数，系数为上同调类。
• 通过壁穿插，在卡拉比–丘4流形上的DT4不变量与椭圆曲面上的Quot-概形之间建立了塞雷–维尔林德对应关系。
• 对于椭圆曲面$S$，生成函数$\sum_{n>0} \frac{\mathscr{Q}_{N,n}}{e^{(np,1)}} q^n$由包含$U_v(z)$与$y_k$-生成函数的指数公式给出。
• 证明了椭圆曲面上Quot-概形的生成函数满足一个通用公式，涉及$f_i(H_j(q))$与$c_1(\alpha_j) \cdot c_1(S)$，推广了已知结果。