[论文解读] Warped Product Pointwise Bi-slant Submanifolds of Kaehler Manifolds

Bang‐Yen Chen, Siraj Uddin|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文引入并表征了凯勒流形中的扭曲积点态双斜子流形，推广了关于扭曲积斜子流形与双斜子流形的先前结果。关键贡献是提出一个充分条件——通过涉及形状算子与几乎复结构的张量方程表达——使得此类子流形局部为扭曲积，从而扩展了CR、半斜及半斜子流形理论中的已知结果。

ABSTRACT

Warped product manifolds have been studied for a long period of time. In contrast, the study of warped product submanifolds from extrinsic point of view was initiated by the first author around the beginning of this century in [7, 8]. Since then the study of warped product submanifolds has been investigated by many geometers. The notion of slant submanifolds of almost Hermitian manifolds was introduced in [5]. Bi-slant submanifolds in almost contact metric manifolds were defined in [4] by J. L. Cabrerizo et al. In [26], we studied bi-slant submanifolds and warped product bi-slant submanifolds in Kaehler manifolds. In this article, we investigate warped product pointwise bi-slant submanifolds of Kaehler manifolds. Our main results extend several important results on warped product slant submanifolds obtained in [7, 21-23, 27].

研究动机与目标

• 将扭曲积子流形理论推广至凯勒流形中的点态双斜子流形情形。
• 通过引入点态斜角，推广关于扭曲积斜子流形与双斜子流形的现有结果。
• 建立点态双斜子流形具备扭曲积结构的充分几何条件。
• 在统一框架下统一并推广先前关于CR、半斜及半斜扭曲积的结果。
• 修正并完善早期表述，例如识别出先前文献中关键方程的缺失项。

提出的方法

• 通过两个正交分布定义点态双斜子流形，其点态斜角分别为θ₁与θ₂。
• 应用高斯公式与温加滕公式，将Levi-Civita联络与第二基本形式分解为切向与法向分量。
• 推导出一个关键张量方程（公式4.12），涉及形状算子A_N与几乎复结构J，将∇_X Y的法向分量与扭曲函数μ的梯度联系起来。
• 利用D₂分布可积且其叶面具有平均曲率向量H₂ = -∇μ的总脐性条件，应用Hiepko定理。
• 应用Hiepko定理，得出若所推导的张量方程成立，则子流形局部为扭曲积。
• 通过验证该一般结果可正确退化为已知情形（CR、半斜、半斜及点态半斜扭曲积）来验证其正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 凯勒流形中的点态双斜子流形在何种几何条件下局部为扭曲积？
• RQ2 扭曲积结构如何推广CR、半斜及半斜子流形的已有结果？
• RQ3 能否仅用第二基本形式与几乎复结构表达扭曲积结构的条件？
• RQ4 在早期表述中，如文献[23]的定理5.1，需要进行哪些修正或完善？
• RQ5 混合全测地条件如何影响扭曲积点态双斜子流形的分类？

主要发现

• 凯勒流形中的点态双斜子流形M局部为扭曲积，当且仅当满足涉及形状算子与扭曲函数梯度的张量方程（4.12）。
• 当θ₁ = 0且θ₂ = π/2时，条件（4.12）正确退化为CR扭曲积的已知条件，与[7]中的定理4.2一致。
• 当θ₁ = 0且θ₂ = θ（斜函数）时，结果推广了点态半斜扭曲积，修正了先前方程中缺失的项（应为1−cos²θ而非1+cos²θ）。
• 当θ₁ = θ（常数）且θ₂ = π/2时，结果推广了半斜扭曲积，表明混合全测地条件并非扭曲积结构成立的必要条件。
• 在点态半斜子流形情形（θ₁ = π/2，θ₂ = θ）下，所导条件与[27]中的定理4.2一致，确认了该结果的推广。
• 在混合全测地条件下，第二基本形式的模平方可仅用该条件进行界定；在此条件下，子流形要么为黎曼积，要么为形式为M_θ ×_f M_⊥的扭曲积，其中M_θ为点态斜子流形，M_⊥为全实子流形。