[论文解读] Weak Convergence of Laws of Finite Graphs

Igor Artemenko|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2011

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文在局部有限根图的同构类空间上引入了一个度量 ρ，使得有限图的分布律（经验测度）能够实现弱收敛。研究发现，虽然根图收敛并不蕴含其分布律的弱收敛，但某些序列——例如无限3-正则树的有限子树序列——可以弱收敛于一个非退化的单模极限测度。主要贡献在于构造了有限图分布律的弱极限为非退化单模测度的显式例子。

ABSTRACT

The law of a finite graph is a probability measure induced by the orbits of the graph under its automorphism group. Every law satisfies the intrinsic mass transport principle, which is also known as unimodularity. We discuss the convergence of sequences of laws of finite graphs. Of particular importance is a conjecture proposed by Aldous and Lyons that claims every unimodular measure is a limit of a sequence of laws. Aside from this open problem, other directions of research are also mentioned. We work out in detail a number of results and examples, some of which are new, and others that have been previously stated without proofs. These results include a new characterization of laws of finite connected graphs, a description of the topological space of paths, and a proof that the compact space of weak limits of laws is convex.

研究动机与目标

• 在局部有限连通根图的同构类空间上形式化定义度量 ρ，以研究图序列的收敛性。
• 研究根图收敛性与它们的经验测度（分布律）弱收敛性之间的关系。
• 探讨单模测度是否可作为有限图分布律的弱极限。
• 构造此类极限的显式例子，特别是在树和拟有限图族的背景下。
• 考察单模性以及自同构下的不变性在图序列极限行为中的作用。

提出的方法

• 基于根部 r-邻域同构的最大 r 值，在 bG（局部有限连通根图同构类的空间）上定义度量 ρ。
• 证明 ρ 是一个非阿基米德度量，从而保证收敛的强拓扑性质。
• 将有限图 G 的律 Ψ(G) 定义为在所有顶点上均匀的经验测度。
• 通过连续有界函数 f 在 bG 上的积分 ∫f dΨ(Gn) → ∫f dμ 来测试弱收敛性。
• 构造无限3-正则树 T∞ 的有限子树 Tk 的序列，根为 t，并分析 Ψ(Tk) 的弱极限。
• 证明弱极限 μ 满足 μ[S, ui] = 1/2^i，其中 S 是从叶节点到 t 的射线上第 i 个顶点为根的无限路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 根图收敛是否蕴含其分布律的弱收敛？
• RQ2 单模测度是否可作为有限图分布律的弱极限？
• RQ3 无限正则树的有限子树分布律的弱极限结构如何？
• RQ4 拟有限图族与单模极限的存在性有何关联？
• RQ5 任意顶点传递无限图上的狄拉克测度是否为单模？

主要发现

• 度量 ρ 在局部有限根图同构类空间 bG 上定义良好，并构成一个非阿基米德度量。
• 无限3-正则树 T∞ 的有限子树 Tk 序列在 ρ 度量下收敛于 [T∞, t]，但其分布律 Ψ(Tk) 并不弱收敛于 δ[T∞,t]。
• 分布律 Ψ(Tk) 弱收敛于 bG3 上的一个单模概率测度 μ，且满足 μ[S, ui] = 1/2^i，其中 S 是从叶节点到 t 的射线上第 i 个顶点为根的无限路径。
• 极限测度 μ 是非退化的，且其支撑集为可数个根路径，每条路径的质量呈指数衰减。
• 狄拉克测度 δ[P∞,·] 在无限路径上满足单模性的不变性条件，暗示顶点传递图中存在更广泛的单模性。
• 有限路径的集合是拟有限的，且有限个拟有限图族的并集仍为拟有限。