[论文解读] Weak convergence rates of spectral Galerkin approximations for SPDEs with nonlinear diffusion coefficients

Daniel Conus, Arnulf Jentzen+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 46被引用 44

一句话总结

该论文通过一种基于改进的伽辽金过程和温和伊藤型公式的创新方法，建立了非线性扩散系数的半线性随机偏微分方程（SPDEs）的谱伽辽金逼近的几乎精确的弱收敛速率，且无需依赖马尔可夫微积分。关键结果是在 $ C_b^4(H, \mathbb{R}) $ 中的测试函数下，收敛速率为 $ \mathcal{O}(N^{-\gamma}) $，其中 $ N $ 为伽辽金投影的维数，$ \gamma $ 取决于系数和噪声的正则性。

ABSTRACT

Strong convergence rates for (temporal, spatial, and noise) numerical approximations of semilinear stochastic evolution equations (SEEs) with smooth and regular nonlinearities are well understood in the scientific literature. Weak convergence rates for numerical approximations of such SEEs have been investigated since about 11 years and are far away from being well understood: roughly speaking, no essentially sharp weak convergence rates are known for parabolic SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions; see Remark 2.3 in [A. Debussche, Weak approximation of stochastic partial differential equations: the nonlinear case, Math. Comp. 80 (2011), no. 273, 89-117] for details. In this article we solve the weak convergence problem emerged from Debussche's article in the case of spectral Galerkin approximations and establish essentially sharp weak convergence rates for spatial spectral Galerkin approximations of semilinear SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions. Our solution to the weak convergence problem does not use Malliavin calculus. Rather, key ingredients in our solution to the weak convergence problem emerged from Debussche's article are the use of appropriately modified versions of the spatial Galerkin approximation processes and applications of a mild It\^{o} type formula for solutions and numerical approximations of semilinear SEEs. This article solves the weak convergence problem emerged from Debussche's article merely in the case of spatial spectral Galerkin approximations instead of other more complicated numerical approximations. Our method of proof extends, however, to a number of other kind of spatial, temporal, and noise numerical approximations for semilinear SEEs.

研究动机与目标

• 解决长期存在的开放问题：在标准正则性假设下，为具有非线性扩散系数的半线性SPDEs的空间谱伽辽金逼近建立几乎精确的弱收敛速率。
• 克服先前方法的局限性，这些方法对扩散系数的二阶导数施加了限制性平滑假设，如Debussche（2011）所提出的。
• 提出一种新证明策略，避免使用马尔可夫微积分，转而依赖改进的伽辽金逼近和解及其数值逼近的温和伊藤型公式。
• 通过下界分析确认所导出的弱收敛速率的精确性，证明在给定正则性假设下该速率无法进一步提升。

提出的方法

• 引入标准空间伽辽金逼近过程的适当改进版本，以处理扩散系数中的非线性性。
• 将温和伊藤型公式应用于解及其伽辽金逼近，以分析两者之间的弱误差。
• 通过带有光滑化非线性的扰动方法，建立光滑化解的强收敛性，进而推导出弱收敛速率。
• 提出一种新颖的弱误差分解方法，将其表示为光滑化解与原始解相关项之和，利用矩估计和伊藤等距性进行分析。
• 利用测试函数如 $ \phi(x) = \exp(-\|x\|_H^2) $ 和 $ \phi(x) = \|x\|_H^2 $ 推导弱误差的下界，表明收敛速率无法被改进。
• 通过构造具有特征值和噪声系数幂律衰减的显式例子，建立以 $ N $（伽辽金维数）表示的显式下界，从而证明弱收敛速率的精确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准正则性假设下，具有非线性扩散系数的半线性SPDEs的谱伽辽金逼近的最优弱收敛速率是什么？
• RQ2 是否可以在不依赖马尔可夫微积分或对扩散系数二阶导数施加限制性平滑条件的前提下，建立弱收敛速率？
• RQ3 弱收敛速率如何依赖于初值数据、线性算子和噪声结构的正则性？
• RQ4 能否通过弱误差的下界分析，证明所导出的弱收敛速率是精确的？
• RQ5 弱误差对伽辽金投影维数 $ N $ 的依赖关系如何？是否可以精确量化？

主要发现

• 该论文为 $ C_b^4(H, \mathbb{R}) $ 中的测试函数建立了 $ \mathcal{O}(N^{-\gamma}) $ 的弱收敛速率，其中 $ \gamma $ 取决于系数和噪声的正则性，且该速率几乎精确。
• 对于测试函数 $ \phi(x) = \exp(-\|x\|_H^2) $，弱误差满足下界 $ \mathbb{E}[\phi(X_I^T)] - \mathbb{E}[\phi(X_H^T)] \gtrsim \mathbb{E}[\phi(X_H^T)] \cdot \frac{\mathbb{E}[\|X_{H\setminus I}^T\|^2_H]}{2(1 + \mathbb{E}[\|X_{H\setminus I}^T\|^2_H])^{3/2}} $，证实了该速率的精确性。
• 在具体例子中，当 $ \lambda_n = -\pi^2 n^2 $ 且 $ \mu_n = |\lambda_n|^\delta $（$ \delta < 1/4 $）时，弱误差满足 $ \mathbb{E}[\phi(X_{\{b_1,\dots,b_N\}}^T)] - \mathbb{E}[\phi(X_H^T)] \gtrsim |\lambda_{b_N}|^{-(1 - 1/2 - 2\delta)} \cdot \text{const} $，显示出对 $ N $ 的显式依赖关系。
• 下界分析表明，所导出的弱收敛速率无法被改进，因为误差的衰减速率与上界一致。
• 该方法具有鲁棒性，可推广至谱伽辽金逼近之外的其他数值格式，如有限元法或有限差分法。
• 证明中未使用马尔可夫微积分，是一项重要的技术贡献，避免了复杂随机分析工具的使用，简化了分析过程。