[论文解读] Weak Galerkin Finite Element Methods for Second-Order Elliptic Problems on Polytopal Meshes

Lin Mu, Junping Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2012

Numerical methods in engineering被引用 3

一句话总结

本文提出了一种弱伽辽金有限元方法（WG-FEM），用于在任意多面体网格上求解二阶椭圆问题，该方法采用应用于不连续分段多项式的离散弱梯度算子。该方法在离散 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下均实现了最优误差估计，证明了其在基于一般多面体的离散化中具有鲁棒性、可靠性和准确性。

ABSTRACT

This paper introduces a new weak Galerkin (WG) finite element method for second order elliptic equations on polytopal meshes. This method, called WG-FEM, is designed by using a discrete weak gradient operator applied to discontinuous piecewise polynomials on finite element partitions of arbitrary polytopes with certain shape regularity. The paper explains how the numerical schemes are designed and why they provide reliable numerical approximations for the underlying partial differential equations. In particular, optimal order error estimates are established for the corresponding WG-FEM approximations in both a discrete $H^1$ norm and the standard $L^2$ norm. Numerical results are presented to demonstrate the robustness, reliability, and accuracy of the WG-FEM. All the results are derived for finite element partitions with polytopes. Allowing the use of discontinuous approximating functions on arbitrary polytopal elements is a highly demanded feature for numerical algorithms in scientific computing.

研究动机与目标

• 开发一种支持在任意多面体单元上进行不连续近似的有限元方法，用于求解二阶椭圆问题。
• 确保在仅满足形状正则性要求（无其他形状限制）的一般多面体网格上具有数值可靠性与准确性。
• 为所提出的格式在离散 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下建立最优收敛速率。
• 提供一种增强科学计算灵活性的框架，允许使用任意多面体单元及不连续形状函数。

提出的方法

• 该方法采用离散弱梯度算子，以处理多面体单元上的不连续分段多项式近似。
• 基于弱导数的变分形式，使非协调和不连续形状函数得以使用。
• 通过局部单元内投影和稳定项构造离散弱梯度，以确保一致性和稳定性。
• 采用混合变分形式，强制在单元边界上实现弱连续性。
• 该方法在仅对单元几何形状施加最小假设（仅需形状正则性）下，仍能保持最优收敛速率。
• 通过数值实验验证理论误差估计，并展示其鲁棒性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱伽辽金有限元方法是否能在任意多面体网格上，结合不连续近似，实现最优收敛？
• RQ2 在缺乏协调连续性约束的条件下，离散弱梯度算子如何确保稳定性和准确性？
• RQ3 能否在离散 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下严格建立 WG-FEM 的误差估计？
• RQ4 该方法在各种多面体网格类型和多项式阶次下的数值表现如何？

主要发现

• WG-FEM 在多面体网格上求解二阶椭圆问题时，于离散 $H^1$ 范数下实现了最优阶误差估计。
• 在标准 $L^2$ 范数下也建立了最优收敛速率，证实了该方法的鲁棒性与准确性。
• 即使在使用任意多面体单元上的不连续多项式近似时，该方法仍保持稳定与准确。
• 数值实验验证了理论误差估计，并展示了该方法在多种网格构型下的可靠性。