[论文解读] Weak model categories in classical and constructive mathematics

Simon Henry|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 16

一句话总结

本文引入了‘弱模型范畴’——一种广义的同伦理论框架，仅需对纤维化对象与余纤维化对象之间的态射施加分解与提升性质。该框架可实现经典模型结构（如Kan-Quillen、Joyal-Lurie、Verity结构）的构造性证明，并通过 predicative（范畴论意义上的）构造性小对象构造法，显著简化了完整 Quillen 模型范畴的构造过程。

ABSTRACT

We introduce a notion of "weak model category" which is a weakening of the notion of Quillen model category, still sufficient to define a homotopy category, Quillen adjunctions, Quillen equivalences and most of the usual construction of categorical homotopy theory. Both left and right semi-model categories are weak model categories, and the opposite of a weak model category is again a weak model category. The main advantages of weak model categories is that they are easier to construct than Quillen model categories. In particular we give some simple criteria on two weak factorization systems for them to form a weak model category. The theory is developed in a very weak constructive framework and we use it to produce, completely constructively (even predicatively), weak versions of various standard model categories, including the Kan-Quillen model structure, the variant of the Joyal model structure on marked simplicial sets, and the Verity model structure for weak complicial sets. We also construct semi-simplicial versions of all these.

研究动机与目标

• 开发一种弱于 Quillen 模型范畴的框架，使其在定义同伦范畴与 Quillen 伴随关系时更具构造性可及性。
• 通过仅关注余纤维化与纤维化对象，提供经典模型结构（如 Kan-Quillen、Joyal-Lurie 与 Verity 模型结构）的构造性存在性证明。
• 将左与右半模型范畴推广为一种自对偶的弱模型范畴概念，同时保留关键的同伦结构。
• 在范畴论的 predicative（范畴论意义上的）与构造性设定下，利用自然数对象与可判定子对象，形式化小对象构造法，实现有效构造。
• 将上述结果拓展至标准模型范畴的半单纯版本，这些结构在传统方法下难以实现构造性构造。

提出的方法

• 通过将两个弱因子化系统限制在定义域为余纤维化、目标为纤维化对象的态射上，定义弱模型范畴，避免对所有对象施加完整因子化。
• 基于范畴中的自然数对象与同态集中的可判定子对象，使用构造性小对象构造法构建因子化，并证明余纤维化态射是生成余纤维化态射的逐次推进的传递复合的 retract。
• 确保生成余纤维化态射的定义域的同态函子保持 ℕ-链的上积与余上积，且余上积诱导同态集中补子单射。
• 将该框架应用于构造集合类、链复形、单纯集、带标记单纯集与分层单纯集等范畴上的弱模型结构。
• 证明弱模型范畴的对偶仍是弱模型范畴，保持对偶性，从而实现同伦理论的对称处理。
• 在具有参数化列表对象的笛卡尔范畴中形式化小对象构造法，为类型论基础中的内部逻辑形式化提供可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种弱化的模型范畴概念，使其仍能支持同伦理论的核心构造——同伦范畴、Quillen 伴随与等价关系——同时在构造上更易实现？
• RQ2 能否仅基于余纤维化与纤维化对象，构造性地证明 Kan-Quillen 与 Joyal-Lurie 模型结构的存在性？
• RQ3 在 predicative（范畴论意义上的）与构造性设定下，一个范畴及其弱因子化系统需满足何种条件，才能构成弱模型范畴？
• RQ4 如何使小对象构造法适应构造性设定，而无需依赖选择公理或非范畴论构造？
• RQ5 能否利用该框架构造标准模型结构的半单纯版本（如在半单纯集上的结构）？

主要发现

• 弱模型范畴同时推广了左与右半模型范畴，并在对偶下封闭，因为弱模型范畴的对偶仍是弱模型范畴。
• 弱模型范畴的同伦范畴可类似 Quillen 的构造方式定义，即通过余纤维化-纤维化对象之间的弱等价关系。
• 在可判定条件下，通过小对象构造法实现了单纯集上的 Kan-Quillen 模型结构与带标记单纯集上的 Joyal-Lurie 模型结构的存在性构造性证明。
• Verity 对弱复杂胞集的模型结构与链复形上的射影模型结构也被构造性地确立为弱模型范畴。
• Kan-Quillen、Joyal-Lurie 与 Verity 模型结构的半单纯版本被成功构造，证明了该框架在单纯集之外的适用性。
• 在小对象构造法的‘理想情况’下，即同态函子保持上积且余上积诱导可判定子对象时，余纤维化态射被证明是生成余纤维化态射的余上积的传递复合的 retract，从而在构造上验证了标准代数性质。