[论文解读] Weak Multiplier Hopf Algebras. Preliminaries, motivation and basic examples

Alfons Van Daele, Shuanhong Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文引入了弱乘子霍普夫代数作为乘子霍普夫代数和弱霍普夫代数的推广，其动机源于群胚在集合上的作用。该文通过群胚上具有有限支集的复值函数构造此类代数，使用一种在群胚乘积未定义时为零的对角映射。主要贡献在于在乘子代数中建立了共结合性及扩张的唯一性，通过对等式 $(\Delta \otimes \iota)\Delta = (\iota \otimes \Delta)\Delta$ 的证明，利用幂等元关系实现。

ABSTRACT

Let $G$ be a {\it finite group}. Consider the algebra $A$ of all complex functions on G (with pointwise product). Define a coproduct $Δ$ on A by $Δ(f)(p,q)=f(pq)$ where $f\in A$ and $p,q\in G$. Then $(A,Δ)$ is a Hopf algebra. If $G$ is only a {\it groupoid}, so that the product of two elements is not always defined, one still can consider $A$ and define $Δ(f)(p,q)$ as above when $pq$ is defined. If we let $Δ(f)(p,q)=0$ otherwise, we still get a coproduct on $A$, but $Δ(1)$ will no longer be the identity in $A\ot A$. The pair $(A,Δ)$ is not a Hopf algebra but a weak Hopf algebra. If $G$ is a {\it group}, but {\it no longer finite}, one takes for $A$ the algebra of functions with finite support. Then $A$ has no identity and $(A,Δ)$ is not a Hopf algebra but a multiplier Hopf algebra. Finally, if $G$ is a {\it groupoid}, but {\it not necessarily finite}, the standard construction above, will give, what we call in this paper, a weak multiplier Hopf algebra. Indeed, this paper is devoted to the development of this 'missing link': {\it weak multiplier Hopf algebras}. We spend a great part of this paper to the motivation of our notion and to explain where the various assumptions come from. The goal is to obtain a good definition of a weak multiplier Hopf algebra. Throughout the paper, we consider the basic examples and use them, as far as this is possible, to illustrate what we do. In particular, we think of the finite-dimensional weak Hopf algebras. On the other hand however, we are also inspired by the far more complicated existing analytical theory. In forthcoming papers on the subject, we develop the theory further.

研究动机与目标

• 为非单位元、无限维情形下的乘子霍普夫代数与弱霍普夫代数发展一种推广理论。
• 通过群胚构造形式化弱乘子霍普夫代数的概念，其中乘积仅部分定义。
• 建立乘子代数中诸如共结合性与扩张唯一性等基础性质。
• 通过具体例子（尤其是有限群胚与集合上的群作用）来解释公理的动机。
• 为后续论文中进一步理论的发展奠定基础，包括源/目标映射、积分与对偶性。

提出的方法

• 构造群胚 $G$ 上具有有限支集的复值函数代数 $A = K(G)$，当 $G$ 无限时该代数非单位元。
• 定义对角映射 $\Delta(f)(p,q) = f(pq)$（若 $pq$ 有定义），否则为 0，其取值范围为乘子代数 $M(A \otimes A)$。
• 利用乘子代数 $M(A \otimes A)$ 中的幂等元 $E = \Delta(1)$ 来刻画对角映射的非单位元性质，满足对所有 $a \in A$ 有 $E\Delta(a) = \Delta(a) = \Delta(a)E$。
• 通过扩张的唯一性，证明在乘子代数意义下的共结合性，即 $(\Delta \otimes \iota)\Delta = (\iota \otimes \Delta)\Delta$。
• 证明 $(\Delta \otimes \iota)(E) = (\iota \otimes \Delta)(E)$，且该公共值等于 $(E \otimes 1)(1 \otimes E)$，从而表明 $E \otimes 1$ 与 $1 \otimes E$ 可交换。
• 利用乘子代数的结构，将映射从 $A$ 扩张至 $M(A \otimes A \otimes A)$，确保一致性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将霍普夫代数理论推广至由部分定义的群胚乘积所导出的非单位元、无限维代数？
• RQ2 在更广泛的设定下，推广乘子霍普夫代数与弱霍普夫代数所需的必要且充分公理是什么？
• RQ3 当对角映射的像不落在 $A \otimes A$ 中时，共结合性在乘子代数中如何成立？
• RQ4 幂等元 $E = \Delta(1)$ 在刻画对角映射及其扩张结构方面起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，算子 $E \otimes 1$ 与 $1 \otimes E$ 可交换？何时有 $(\Delta \otimes \iota)(E) = (E \otimes 1)(1 \otimes E)$？

主要发现

• 对角映射 $\Delta$ 是从 $A$ 到 $M(A \otimes A)$ 的同态，且共结合性成立，即 $(\Delta \otimes \iota)\Delta = (\iota \otimes \Delta)\Delta$ 在 $M(A)$ 上成立，其证明依赖于扩张的唯一性。
• 幂等元 $E = \Delta(1)$ 满足对所有 $a \in A$ 有 $E\Delta(a) = \Delta(a) = \Delta(a)E$，反映了弱乘子结构的特征。
• $E \otimes 1$ 与 $1 \otimes E$ 在 $M(A \otimes A \otimes A)$ 中可交换，且 $(\iota \otimes \Delta)(E) = (1 \otimes E)(E \otimes 1)$，表明该公共值是同时位于两者之下的最大幂等元。
• 等式 $(\Delta \otimes \iota)(E) = (\iota \otimes \Delta)(E)$ 成立，这对证明扩展对角映射的共结合性至关重要。
• 在包括有限群胚、集合上的群作用与弱霍普夫代数在内的多个例子中，结果保持一致，证实了公理具有充分的动机。
• 目前尚未发现 $E \otimes 1$ 与 $1 \otimes E$ 不可交换，或 $(\Delta \otimes \iota)(E)$ 与 $(E \otimes 1)(1 \otimes E)$ 不相等的例子，提示这些性质可能是该结构的内在特征。