[论文解读] Weakly group-theoretical and solvable fusion categories

Pavel Etingof, Dmitri Nikshych+1 more|ArXiv.org|Sep 17, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用 16

一句话总结

本文引入并研究了复数域上的弱群-理论融合范畴与可解融合范畴，证明所有弱群-理论范畴均满足强Frobenius性质——即任意模范畴中任意简单对象的Frobenius-Perron维数与范畴本身Frobenius-Perron维数之比为代数整数。此外，本文进一步证明了维数为 $p^r q^s$ 的融合范畴是可解的，推广了Kaplansky的第六猜想，并扩展了关于霍普夫代数与模范畴的结果。

ABSTRACT

We introduce two new classes of fusion categories which are obtained by a certain procedure from finite groups - weakly group-theoretical categories and solvable categories. These are fusion categories that are Morita equivalent to iterated extensions (in the world of fusion categories) of arbitrary, respectively solvable finite groups. Weakly group-theoretical categories have integer dimension, and all known fusion categories of integer dimension are weakly group theoretical. Our main results are that a weakly group-theoretical category C has the strong Frobenius property (i.e., the dimension of any simple object in an indecomposable C-module category divides the dimension of C), and that any fusion category whose dimension has at most two prime divisors is solvable (a categorical analog of Burnside's theorem for finite groups). This has powerful applications to classification of fusion categories and semsisimple Hopf algebras of a given dimension. In particular, we show that any fusion category of integer dimension <84 is weakly group-theoretical (i.e. comes from finite group theory), and give a full classification of semisimple Hopf algebras of dimensions pqr and pq^2, where p,q,r are distinct primes.

研究动机与目标

• 定义并表征弱群-理论与可解融合范畴，作为群-理论与幂零范畴的推广。
• 建立与给定范畴的群扩张等价的融合范畴的Morita等价准则，通过其Drinfeld中心实现。
• 证明所有弱群-理论融合范畴均满足强Frobenius性质，推广Kaplansky的第六猜想。
• 证明维数为 $p^r q^s$（$p,q$ 为素数）的融合范畴是可解的，推广已知的小维数霍普夫代数结果。
• 为素数幂与复合维数（特别是 $pqr$ 与 $pq^2$）的融合范畴及半单霍普夫代数提供结构洞见。

提出的方法

• 利用Morita等价与Drinfeld中心理论，将融合范畴与群扩张联系起来，采用如下刻画：范畴 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{D}$ 的 $G$-扩张Morita等价，当且仅当 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 包含一个Tannakian子范畴 $\mathrm{Rep}(G)$，且其去平权化后得到 $\mathcal{Z}(\mathcal{D})$。
• 应用去平权化与平权化构造，通过素数阶循环群从 $\mathrm{Vec}$ 构造融合范畴的序列。
• 运用Müger中心化子与有 braided 结构的范畴技术，分析对称子范畴，并检测中心中非平凡的Tannakian子范畴。
• 利用Frobenius-Perron维数与代数整数的性质，证明弱群-理论范畴中强Frobenius性质的成立。
• 采用归纳法与维数计数论证，特别是在中心中2维与4维简单对象的情形下，证明Tannakian子范畴的存在性。
• 应用模张量范畴与模化（通过Bruguières与Müger）的结果，将问题约化为小维数范畴的已知分类定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个融合范畴是否都满足强Frobenius性质？
• RQ2 所有弱整数维融合范畴是否都是弱群-理论的？
• RQ3 所有维数为 $p^r q^s$ 的融合范畴是否都是可解的？
• RQ4 若一个融合范畴的中心包含一个Tannakian子范畴 $\mathrm{Rep}(G)$，且其去平权化等价于基范畴的中心，则该范畴是否与某个 $G$-扩张Morita等价？
• RQ5 维数为 $pqr$ 或 $pq^2$ 的融合范畴具有何种结构性质？它们是否为群-理论的？

主要发现

• 一个融合范畴 $\mathcal{C}$ 是弱群-理论的，当且仅当它与一个幂零融合范畴Morita等价；进一步结果表明，此类范畴与某个指向范畴的群扩张Morita等价。
• 一个融合范畴 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{D}$ 的 $G$-扩张Morita等价，当且仅当 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 包含一个Tannakian子范畴 $\mathrm{Rep}(G)$，使得对 $\mathrm{Rep}(G)$ 的中心化子进行去平权化后，得到 $\mathcal{Z}(\mathcal{D})$ 作为有braided结构的范畴。
• 任何弱群-理论融合范畴都具有强Frobenius性质：对任意非分解 $\mathcal{C}$-模范畴 $\mathcal{M}$ 与 $\mathcal{M}$ 中的简单对象 $X$，比值 $\mathrm{FPdim}(\mathcal{C}) / \mathrm{FPdim}(X)$ 为代数整数。
• 所有维数为 $p^r q^s$（$p,q$ 为素数，$r,s \geq 0$）的融合范畴都是可解的，推广了已知的 $pq$ 与 $p^r$ 维数情形的结果。
• 任何非指向的简单弱群-理论融合范畴都与某个有限非交换单群 $G$ 的表示范畴 $\mathrm{Rep}(G)$ 等价；任何维数为60的融合范畴都是弱群-理论的（因此若为简单范畴，则等价于 $\mathrm{Rep}(A_5)$）。
• 所有维数为 $pqr$（不同素数）的融合范畴，以及所有维数为 $pqr$ 或 $pq^2$ 的半单霍普夫代数都是群-理论的，且此类霍普夫代数可通过本文建立的框架进行分类。