[论文解读] Weakly Submodular Function Maximization Using Local Submodularity Ratio

Richard Santiago, Yuichi Yoshida|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 36被引用 6

一句话总结

本文引入了非单调函数的广义弱次模性概念，并提出了一种在基数约束下具有可证明近似保证的随机贪心算法。通过利用执行过程中动态变化的局部次模性比率，该方法实现了改进的近似界，包括对单调弱次模函数的 (1−e⁻γ)-近似，以及在次模性比率有利演变时对非单调情形的更紧近似界。

ABSTRACT

Weak submodularity is a natural relaxation of the diminishing return property, which is equivalent to submodularity. Weak submodularity has been used to show that many (monotone) functions that arise in practice can be efficiently maximized with provable guarantees. In this work we introduce two natural generalizations of weak submodularity for non-monotone functions. We show that an efficient randomized greedy algorithm has provable approximation guarantees for maximizing these functions subject to a cardinality constraint. We then provide a more refined analysis that takes into account that the weak submodularity parameter may change (sometimes improving) throughout the execution of the algorithm. This leads to improved approximation guarantees in some settings. We provide applications of our results for monotone and non-monotone maximization problems.

研究动机与目标

• 将弱次模性扩展至非单调函数，以实现对更广泛实际优化问题类别的理论保证。
• 开发一种随机贪心算法，对单调和非单调弱次模函数均保持强大的近似性能。
• 通过允许次模性比率在算法执行过程中动态变化，改进近似分析，从而在有利情况下获得更紧的界。
• 为非单调目标函数提供具体的近似保证，包括涉及次模性和成比例次模性分量的情形。
• 通过机器学习和数据摘要中的实例（如特征选择和图像摘要）展示该框架的适用性。

提出的方法

• 引入两类新函数类：γ-伪次模和γ-弱次模，将弱次模性推广至非单调设置。
• 提出一种基于期望边际收益选择元素的随机贪心算法，并对局部次模性比率进行动态分析。
• 采用一种改进的分析框架，其中次模性比率 γA,B 允许随当前解集大小 |A| 变化，当 γ 随时间改善时可提升近似界。
• 将算法应用于分解为 f = g + h 的函数，其中 g 为单调次模，h 为非单调函数，基于局部次模性比率推导界。
• 通过引入虚拟元素建模非单调行为，采用双逼近方法，使解的质量分析可基于原始基集元素进行。
• 利用依赖于从原始基集选择元素数量的局部次模性比率参数 ¯γi，推导出期望近似保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱次模性能否在保持贪心算法强近似保证的前提下，有意义地扩展至非单调函数？
• RQ2 随机贪心算法的性能在执行过程中如何依赖于次模性比率的动态演化？
• RQ3 当次模性比率随时间改善时，非单调弱次模函数可实现何种近似保证？
• RQ4 该框架能否应用于实际问题（如特征选择、图像摘要和字典学习），并提供可证明的性能界？
• RQ5 对于基数约束最大化问题，(γ·e⁻¹/γ)-近似界是否紧致？在动态次模性比率下能否进一步改进？

主要发现

• 该随机贪心算法对单调弱次模函数实现了 (1−e⁻γ)-近似，与 Das 和 Kempe (2011) 的结果一致。
• 对于非单调函数，在 f = g + h 情形下（g 为次模，h 为成比例次模），当从原始基集至少选择 k/2 个元素时，算法实现了至少 0.05/e ≈ 0.018 的期望近似比。
• 在 f(S) = g(S) + |S|·h(S) 情形下（g 为次模，h 为非单调次模），当从 E 至少选择 k/2 个元素时，算法保证了至少 0.09/e ≈ 0.033 的期望近似比。
• 分析表明，当执行过程中局部次模性比率 γA,B 上升时，近似界会改善，尤其在比率随解集大小非递减时更为显著。
• 通过考虑次模性比率的实际演化，该框架可在实践中实现更紧的界，从而在动态比率假设下优于静态比率假设的性能保证。
• 该方法适用于现实世界问题，如视频和图像摘要、特征选择以及黑箱模型解释，其中目标函数通常非单调但弱次模。