[论文解读] Wegner estimate and Anderson localization for random magnetic fields

Laszlo Erdoes, David Hasler|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文建立了二维随机磁势薛定谔算符的Wegner估计，并证明了Anderson局域化。该算符具有空间平稳的随机磁势，其磁通量下界为正，且在任意短尺度上具有傅里叶模。作者提出了一种新方法，可在任意能量处证明Wegner估计，从而避免了对零磁通量条件的依赖，首次在无限制磁通量假设下证明了此类模型在谱底的局域化。

ABSTRACT

We consider a two dimensional magnetic Schroedinger operator with a spatially stationary random magnetic field. We assume that the magnetic field has a positive lower bound and that it has Fourier modes on arbitrarily short scales. We prove the Wegner estimate at arbitrary energy, i.e. we show that the averaged density of states is finite throughout the whole spectrum. We also prove Anderson localization at the bottom of the spectrum.

研究动机与目标

• 建立空间平稳随机磁势的随机磁势薛定谔算符的Wegner估计，其磁势不限于零磁通量。
• 消除此前证明Anderson局域化时所需的局部磁通量为零的技术假设。
• 证明此类模型在谱底的Anderson局域化，其中外势为确定性，仅磁势为随机。
• 发展一种新方法以界定了平均态密度，该方法适用于谱中任意能量，而不仅限于远离确定性谱的区域。
• 为后续工作所提出的离散磁势薛定谔算符（具有格点上i.i.d.随机磁通量）的结果扩展奠定基础。

提出的方法

• 引入空间平稳的随机磁势 $ B_\omega(x) = \sum_{z \in \mathbb{Z}^2} \omega_z u(x - z) $，其中 $ \omega_z $ 为i.i.d.随机变量，$ u $ 为衰减的矢量场，确保磁势在短尺度上具有傅里叶模。
• 通过新方法证明Wegner估计，将谱区间 $ I $ 内的期望本征值数目界为 $ C(L)|I| $，其中 $ C(L) $ 随 $ L $ 以高但普遍的幂次增长，且对谱中所有能量均成立。
• 通过复平面上解析延拓的预解式方法，利用指数权重 $ e^{i\alpha\rho} $，其中 $ \rho(x) = (1 + |x|^2)^{1/2} $，推导出预解式的衰减估计。
• 建立磁梯度估计（引理B.1），通过截断函数将磁梯度 $ \nabla_A u $ 的 $ L^2 $-范数控制在 $ u $ 和源项 $ g $ 的 $ L^2 $-范数之内。
• 利用随机场的遍历性与迹的酉不变性，将Wegner估计从有限体积推广至全谱。
• 利用Wegner估计证明谱底的局域化，通过预解式衰减估计与谱隙论证，证明本征函数呈指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为不限于零磁通量的空间平稳随机磁势薛定谔算符建立Wegner估计？
• RQ2 在无局部磁通量为零的假设下，此类模型是否可能在谱底实现Anderson局域化？
• RQ3 当规范势为非局部且哈密顿量非平稳时，能否将标准局域化证明技术加以适应？
• RQ4 Wegner估计对谱区间长度 $ |I| $ 和系统尺寸 $ L $ 的最优依赖关系为何？能否在全谱上实现统一？
• RQ5 该新方法能否推广至具有格点上i.i.d.随机磁通量的离散磁势薛定谔算符？

主要发现

• Wegner估计对谱中所有能量成立，不仅限于远离确定性谱的区域，谱区间 $ I $ 内的期望本征值数目被界为 $ C(L)|I| $，其中 $ C(L) $ 为 $ L $ 的高但普遍的幂次。
• 平均态密度在整个谱上有限，证实了不存在奇异连续谱，支持了累积态密度的存在性。
• 证明了连续随机磁势薛定谔算符在谱底的Anderson局域化，其外势为确定性，磁势为空间平稳的随机场。
• 局域化证明依赖于新Wegner估计与预解式的指数衰减，衰减率为 $ \exp\left(-\sqrt{\eta/2}\, l/4\right) $，其中 $ \eta = \text{dist}(E, \inf \sigma(H_\Lambda)) $。
• 该方法克服了由于非局部规范势导致哈密顿量非平稳的技术障碍，首次在无零磁通量条件的前提下实现了局域化证明。
• 该方法可推广至离散情形，预计在具有格点上i.i.d.随机磁通量的晶格模型中，Wegner估计与局域化均成立，详见后续工作中的详细分析。