[论文解读] Weight structures and motives; comotives, coniveau and Chow-weight spectral sequences, and mixed complexes of sheaves: a survey

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 7

一句话总结

本综述将权重结构确立为三角范畴中 t-structures 的对偶对像，为动机同伦理论中的权重复形、权重滤子和谱序列提供了框架。主要贡献在于系统性地将权重结构应用于 Voevodsky 的动机、余动机和混合层，统一了逐次滤子（coniveau）与 Atiyah-Hirzebruch 谱序列，并为有限维性与动机上同调提供了新洞见。

ABSTRACT

This is a survey of author's results on weight structures and Voevodsky's motives. Weight structures are natural counterparts of t-structures (for triangulated categories) introduced by the author. They allow to construct weight complexes, weight filtrations, and weight spectral sequences for various cohomology theories. Partial cases of the latter are: 'classical' weight spectral sequences (for singular and etale cohomology), coniveau spectral sequences, and Atiyah-Hirzebruch spectral sequences. All of those are mentioned in the current paper. The details, proofs, and several more results could be found in other papers of the author (cited here). We also mention a certain triangulated category of comotives that contains reasonable (co)motives for all function fields (and also of other projective limits of smooth varieties).

研究动机与目标

• 发展并系统化三角范畴中权重结构作为 t-structures 对偶的理论。
• 将权重结构应用于 Voevodsky 的动机与余动机，以实现权重滤子与谱序列的新构造。
• 在统一框架下整合经典谱序列——逐次、Atiyah-Hirzebruch 与 Chow-权重——。
• 探索权重结构在动机有限维性与动机范畴结构中的应用。

提出的方法

• 在三角范畴上引入权重结构，通过在扩张与直和项下封闭的全子范畴定义。
• 通过权重复形函子构造权重复形，该函子对有理动机而言是保守且张量精确的。
• 将权重结构应用于动机范畴，如 $DM^{c}(S)$、$DSH$ 与 $D^b_{m}(X,Q_l)$，在上同调上诱导出权重滤子。
• 利用权重分解与截断的函子性，通过权重精确函子将动机上同调与 $Q_l$-adic 上同调联系起来。
• 应用源自有理分裂数的粘合技术，构造相对动机与混合层上的权重结构。
• 证明有理权重复形函子 $t_{Q}$ 是保守且张量精确的，从而为动机的有限性提供判别准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地将权重结构应用于 Voevodsky 的动机与余动机，以统一现有的谱序列？
• RQ2 权重精确函子在联系动机上同调与 $Q_l$-adic 上同调中起什么作用？
• RQ3 在有限域上的代数簇上，$DM^{c}(S)$ 上的权重结构能否在 $DSH$ 上诱导出相容的权重滤子？
• RQ4 权重结构在多大程度上支持动机的有限维性，特别是对仿射簇及其超平面截面而言？
• RQ5 混合层与动机范畴上的权重结构如何与动机 t-structure 及逐次滤子相关联？

主要发现

• 有理权重复形函子 $t_{Q}$ 是保守且张量精确的，因此动机 $M$ 是 Kimura-有限当且仅当 $t_{Q}(M)$ 是。
• 在有限域上代数簇上的 $DSH$ 中任意对象均存在一个权重 Postnikov 层叠，其因子属于 $F$-权重结构的中心，从而在上同调上诱导出权重滤子。
• 动机实现函子 $H$ 是权重精确的，因此 $H^*(H(M))$ 上的 Chow-权重滤子与 $DSH$ 上的 $w_{DSH}$-滤子一致，统一了动机与 $Q_l$-adic 滤子。
• 对于维数为 $n$ 的光滑仿射 $X$ 及其一般超平面截面 $Y$，复形 $M = (Y o X)$ 仅有 $H_{et}^n(M_{ar k})$ 非零，表明 $M[-n]$ 是偶数维有限的。
• 若存在合理的动机 t-structure，则可推出动机上同调的弱 Lefschetz 性质，从而支持此类 $M$ 的 Kimura-有限性。
• 若所有此类 $M$ 在数值上均为 Kimura-有限，则范畴 $\operatorname{Mot_{num}}$ 将是 tannakian 的，这是 étale 上同调保守性的推论。