[论文解读] Weight zero part of the first cohomology of complex algebraic varieties

Morihiko Saito|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文证明了复代数簇的第一有理上同调的零权部分是一个拓扑不变量，给出了其维数的显式拓扑与层论公式。它证明了 $ W_0H^1(X,\bbQ) $ 与上同调映射的核之间的典范同构，并利用正规化和构造性层 $ \fc_X $ 给出了维数公式。

ABSTRACT

We show that the weight 0 part of the first cohomology of a complex algebraic variety $X$ is a topological invariant, and give an explicit description of its dimension using a topological construction of the normalization of $X$, where $X$ can be reducible, but must be equidimensional. The first assertion is known in the $X$ compact case by A. Weber, where intersection cohomology is used. Note that the weight 1 or 2 part of the first cohomology is not a topological (or even analytic) invariant in the non-compact case by Serre's example.

研究动机与目标

• 证明复代数簇的第一有理上同调的零权部分是一个拓扑不变量。
• 为等维、约化的复代数簇提供 $ \text{dim } W_0H^1(X,\bbQ) $ 的显式拓扑与层论描述。
• 利用混合霍赫德理论与正规化理论，解决 N. Budur 提出的关于 $ W_0H^1(X,\bbQ) $ 拓扑不变性的问题。
• 推广紧致情形下的已知结果，并将其扩展至非紧致、可约的簇。

提出的方法

• 利用正规化态射 $ \tilde{X} \to X $ 的映射锥构造所产生的混合霍赫德结构的长正合列，导出涉及 $ H^0(X, \fc_X) $、$ H^0(X,\bbQ) $、$ H^0(\tilde{X},\bbQ) $ 和 $ H^1 $ 项的典范正合列。
• 通过奇点解析的上拉在上同调上的单射性，证明 $ H^1(\tilde{X},\bbQ) $ 的权不为零。
• 建立从 $ H^1(\tilde{X},\bbQ) $ 到 $ \text{IH}^1(X,\bbQ) $ 的典范态射的单射性，将正规化的上同调与交上同调联系起来。
• 利用混合霍赫德层理论，证明层 $ \fc_X = \text{Coker}(\bbQ_X \to \tilde{\bbQ}_{\tilde{X}}) $ 的权为零。
• 通过正合列与权的考虑，推导出维数公式 $ \text{dim } W_0H^1(X,\bbQ) = \text{dim } H^0(X,\fc_X) - b_0(\tilde{X}) + b_0(X) $。
• 通过完全分支的循环覆盖构造例子，说明单值性非平凡及正规化中非有理分支的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 复代数簇的第一上同调的零权部分是否即使在非紧致且可约的情形下，仍为拓扑不变量？
• RQ2 能否用正规化的拓扑不变量与奇点集的不变量来表达 $ \text{dim } W_0H^1(X,\bbQ) $ ？
• RQ3 作为正规化映射的余核定义的构造性层 $ \fc_X $，与上同调上的权滤子有何关系？
• RQ4 交上同调与混合霍赫德结构在刻画 $ W_0H^1(X,\bbQ) $ 中起什么作用？
• RQ5 能否构造出 $ \text{dim } H^0(X,\fc_X) $ 在限制到更小开子集时严格增加的例子？这对其簇的拓扑有何含义？

主要发现

• 零权部分 $ W_0H^1(X,\bbQ) $ 与映射 $ H^1(X,\bbQ) \to H^1(\tilde{X},\bbQ) $ 的核之间存在典范同构，其中 $ \tilde{X} $ 是 $ X $ 的正规化。
• 它也同构于 $ H^1(X,\bbQ) \to \text{IH}^1(X,\bbQ) $ 的核，表明 $ W_0H^1(X,\bbQ) $ 捕获了交上同调中未体现的上同调数据。
• 维数公式为 $ \text{dim } W_0H^1(X,\bbQ) = \text{dim } H^0(X,\fc_X) - b_0(\tilde{X}) + b_0(X) $，这是一个纯粹的拓扑公式。
• 层 $ \fc_X $ 支撑于非单分支点集，其权为零，这对权滤子分解至关重要。
• 在曲线情形下，$ \text{dim } \fc_{X,x} = r_{X,x} - 1 $，其中 $ r_{X,x} $ 是点 $ x $ 处的局部不可约分支数，验证了曲线情形下的公式。
• 例子表明，$ \text{dim } H^0(X,\fc_X) $ 可能在限制到更小开子集时严格增加，表明零权上同调具有非局部行为。