[论文解读] Weighted equilibrium states for factor maps between subshifts

De‐Jun Feng|ArXiv.org|Sep 23, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文在弱规格条件下，建立了子移位之间因子映射的加权平衡态的存在性与唯一性，推广了经典平衡态理论。证明了对于满足弱规格的子移位 $ X $ 上的连续函数 $ f $ 及因子映射 $ \pi: X \to Y $，存在唯一不变测度，使得 $ \mu(f) + a_1 h_\mu(\sigma_X) + a_2 h_{\mu \circ \pi^{-1}}(\sigma_Y) $ 最大化，从而解决了 Gatzouras 与 Peres 提出的关于加权熵最大化的一个开放问题。

ABSTRACT

Let $π:X o Y$ be a factor map, where $(X,σ_X)$ and $(Y,σ_Y)$ are subshifts over finite alphabets. Assume that $X$ satisfies weak specification. Let $\ba=(a_1,a_2)\in \R^2$ with $a_1>0$ and $a_2\geq 0$. Let $f$ be a continuous function on $X$ with sufficient regularity (Hölder continuity, for instance). We show that there is a unique shift invariant measure $μ$ on $X$ that maximizes $μ(f)+a_1h_μ(σ_X)+ a_2h_{μ\circ π^{-1}}(σ_Y)$. In particular, taking $f\equiv 0$ we see that there is a unique invariant measure $μ$ on $X$ that maximizes the weighted entropy $a_1h_μ(σ_X)+ a_2h_{μ\circ π^{-1}}(σ_Y)$. This answers an open question raised by Gatzouras and Peres in \cite{GaPe96}. An extension is also given to high dimensional cases. As an application, we show the uniqueness of invariant measures with full Hausdorff dimension for certain affine invariant sets on the $k$-torus under a diagonal endomorphism.

研究动机与目标

• 解决 Gatzouras 与 Peres 提出的关于因子映射下子移位间加权熵 $ h_\mu(\sigma_X) + \alpha h_{\mu \circ \pi^{-1}}(\sigma_Y) $ 最大化时不变测度唯一性的开放问题。
• 通过因子映射将平衡态理论推广至多个子移位间测度熵的加权组合。
• 建立唯一不变测度最大化包含连续势能与多个熵项组合功能的条件。
• 将结果应用于环面上仿射不变集的全 Hausdorff 维数不变测度的唯一性。

提出的方法

• 使用 $ V(\sigma_{X_1}) $ 类函数（其部分和有有界变差）以确保关联次可加势能的正则性。
• 通过构造定义在柱集上的函数 $ \phi $，满足 $ \phi(I) = \sup_{x \in [I]} \exp(S_n f(x)) $，将加权平衡态问题转化为次可加势能框架。
• 对因子映射链 $ X_1 \to X_2 \to \cdots \to X_k $ 使用递归归纳法，在每一层证明加权平衡态的存在性与唯一性。
• 采用高阶块表示将一般因子映射简化为单块映射，同时保持弱规格性质并简化分析。
• 利用变分原理将加权拓扑压与加权熵泛函的上确界联系起来。
• 通过弱规格性质建立测度递归的类似混合型下界，确保最大化测度的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足弱规格的子移位 $ X $ 及因子映射 $ \pi: X \to Y $，是否存在唯一不变测度使加权熵 $ a_1 h_\mu(\sigma_X) + a_2 h_{\mu \circ \pi^{-1}}(\sigma_Y) $ 最大化？
• RQ2 经典平衡态唯一性结果（Bowen）能否推广至因子映射下多个熵的加权组合？
• RQ3 在满足弱规格的子移位上，是否存在唯一不变测度使包含连续势能与来自因子系统的多个熵项组合的功能最大化？
• RQ4 加权平衡态的唯一性是否蕴含环面上自仿射集的全 Hausdorff 维数不变测度的唯一性？
• RQ5 该理论能否推广至 $ k \geq 2 $ 个子移位的链，其间存在因子映射？

主要发现

• 对任意 $ f \in V(\sigma_{X_1}) $ 及 $ \mathbf{a} = (a_1, \dots, a_k) $ 满足 $ a_1 > 0 $，$ a_i \geq 0 $，存在唯一 $ \mathbf{a} $-加权平衡态 $ \mu $，使 $ \mu(f) + \sum_{i=1}^k a_i h_{\mu \circ \tau_{i-1}^{-1}}(\sigma_{X_i}) $ 最大化。
• 唯一平衡态 $ \mu $ 是遍历的，并满足可测集递归的统一阶下界：对某 $ c > 0 $，有 $ \liminf_{n \to \infty} \sum_{i=0}^p \mu(A \cap \sigma^{-n-i} B) \geq c \mu(A)\mu(B) $。
• 若 $ X_1 $ 满足规格性（而不仅是弱规格），则 $ \mu $ 满足更强的混合型下界：$ \liminf_{n \to \infty} \mu(A \cap \sigma^{-n} B) \geq c \mu(A)\mu(B) $。
• 当 $ f \equiv 0 $ 时，唯一测度使加权熵 $ \sum_{i=1}^k a_i h_{\mu \circ \tau_{i-1}^{-1}}(\sigma_{X_i}) $ 最大化，从而解决了 Gatzouras 与 Peres 提出的开放问题。
• 该结果适用于环面上对角自同态下的自仿射 Sierpinski 海绵，确保全 Hausdorff 维数不变测度的唯一性。
• 通过使用单边投影与通过标准编码映射 $ \Gamma_i $ 的测度传递，该理论可推广至单边与双边子移位。