[论文解读] Weighted Path homology of Weighted Digraphs and Persistence

Yong Lin, Shiquan Ren+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过在边界算子中引入顶点权重，将Grigor'yan等人提出的路径同调理论推广至加权有向图，提出加权路径同调理论。建立了持久加权路径同调框架，并证明了加权有向图并集的持久Künneth型公式，表明在整数系数下同调依赖于权重。

ABSTRACT

In recent years, A. Grigor'yan, Y. Lin, Y. Muranov and S.T. Yau [6, 7, 8, 9] constructed a path homology theory for digraphs. Later, S. Chowdhury and F. Memoli [3] studied the persistent path homology for directed networks. In this paper, we generalize the path homology theory for digraphs and construct a weighted path homology for weighted digraphs. We study the persistent weighted path homology for weighted digraphs and detect the effects of the weights on the persistent weighted path homology. We prove a persistent version of a Kunneth-type formula for joins of weighted digraphs.

研究动机与目标

• 通过在边界算子中引入顶点权重，将路径同调理论推广至加权有向图。
• 为分析加权有向网络中的拓扑特征，构建持久加权路径同调框架。
• 研究顶点权重如何影响有向图中的持久同调。
• 为加权有向图并集的加权路径同调建立持久Künneth公式的版本。
• 在不同系数环下，比较持久加权路径同调与标准持久路径同调。

提出的方法

• 将加权边界算子定义为带顶点权重的面映射的交错和：$\sum_{k\geq 0}(-1)^k w(i_k) d_k$。
• 通过在交换环 $R$ 上的路径的正式线性组合构造链复形 $\Omega_*^w(G)$。
• 证明加权边界算子满足 $\partial^2 = 0$，从而确保加权路径同调 $H_*(G,w;R)$ 的良好定义。
• 定义加权有向图之间的态射，并证明加权路径同调关于这些映射是函子性的。
• 通过考虑加权有向图序列及其之间的态射，引入持久性框架。
• 利用链复形的张量积与代数Künneth公式，为两个加权有向图的并集建立持久Künneth型公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在边界算子中引入顶点权重如何影响有向图的路径同调？
• RQ2 在使用域系数时，持久加权路径同调与标准持久路径同调之间有何关系？
• RQ3 在使用整数系数时，顶点权重如何影响持久加权路径同调？
• RQ4 能否为两个加权有向图并集的加权路径同调建立Künneth型公式？
• RQ5 两个加权有向图并集的持久加权路径同调是否可分解为各因子同调的张量积？

主要发现

• 在含单位元的交换环上，加权路径同调关于加权有向图的态射是良好定义且函子性的。
• 在域系数下，持久加权路径同调同构于Chowdhury与Mémoli研究的标准持久路径同调。
• 在整数系数下，持久加权路径同调非平凡地依赖于权重，如第4.3节中的具体例子所示。
• 对于两个加权有向图的并集，持久Künneth型公式成立，由此导出一个涉及张量积与Tor函子的自然正合列。
• 通过显式映射 $\mu_\#$，建立了并集链复形与各因子链复形张量积之间的同构，该映射与边界算子可交换。
• 由此导出的同调正合列可裂，证实了持久Künneth公式的代数结构。