[论文解读] Weighted trace cochains; a geometric setup for anomalies

Sylvie Paycha|ArXiv.org|Mar 14, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文引入加权迹上链作为几何框架，通过正则化迹分析伪微分算子中的代数与几何异常。通过将经典迹扩展至由正阶椭圆算子Q加权的多重线性上链，表明源自Hochschild上边界（代数）与协变导数（几何）的差异为Wodzicki余迹的有限线性组合，其显式公式通过梅林变换与热核的渐近展开导出。

ABSTRACT

We extend formulae which measure discrepancies for regularized traces on classical pseudodifferential operators to regularized trace cochains, regularized traces corresponding to 0-regularized trace cochains. This extension from 0-cochains to $n$-cochains is appropriate to handle simultaneously algebraic and geometric discrepancies/anomalies. Algebraic anomalies are Hochschild coboundaries of regularized trace cochains on a fixed algebra of pseudodifferential operators weighted by a fixed classical pseudodifferential operator with positive order and positive scalar leading symbol. In contrast, geometric anomalies arise when considering families of pseudodifferential operators associated with a smooth fibration of manifolds. They correspond to covariant derivatives (and possibly their curvature) of smooth families of regularized trace cochains, the weight being here an elliptic operator valued form on the base manifold. Both types of discrepancies can be expressed as finite linear combinations of Wodzicki residues.We apply the formulae obtained in the family setting to build Chern-Weil type weighted trace cochains on one hand, and on the other hand, to show that choosing the curvature of a Bismut-Quillen type super connection as a weight, provides covariantly closed weighted trace cochains in which case the geometric discrepancies vanish.

研究动机与目标

• 开发统一的几何框架，用于分析无穷维几何与量子场论中的异常。
• 通过权算子Q将正则化迹泛函从0-上链（迹）推广至n-上链（多重线性型）。
• 区分并表征代数异常（Hochschild上边界）与几何异常（上链族的协变导数）。
• 表明两种异常类型均可表示为Wodzicki余迹的有限线性组合。
• 构造类Chern-Weil的加权迹上链，并确定几何异常消失的条件。

提出的方法

• 将加权迹上链χⁿ^Q定义为在单纯形Δₙ上，映射t ↦ tr(A₀e⁻ᵗᵘ₀Q⋯Aₙe⁻ᵗᵘₙQ)的多重线性型的梅林变换的有限部分。
• 利用热迹的梅林变换定义亚纯函数z ↦ χ̄ₙ,ₚ(z)，其留数给出算子乘积的Wodzicki余迹。
• 推导χⁿ^Q(A₀,…,Aₙ)的显式公式，表示为加权迹tr^Q(A₀⋯Aₙ)加上涉及Q⁻|k|与Aᵢ⁽ᵏⁱ⁾伴随作用的校正项。
• 将Hochschild上边界bχ²ᵖ^Q表示为涉及Q⁻|k|⁻¹与高阶伴随导数的Wodzicki余迹的有限和。
• 将形式化应用于光滑纤维丛上的代数族，将几何异常解释为基流形上联络下上链的协变导数。
• 表明当权算子Q取Bismut-Quillen超联络的曲率时，可得协变闭上链，从而消除几何异常。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将伪微分算子上的正则化迹从线性泛函推广至能捕捉代数与几何异常的多重线性上链？
• RQ2 循环迹与加权迹上链之间差异的精确结构为何？其如何用局部不变量表达？
• RQ3 在存在权算子Q的条件下，源于Hochschild上边界的代数异常如何与Wodzicki余迹关联？
• RQ4 在光滑代数族的背景下，几何异常如何表征为加权迹上链的协变导数？
• RQ5 在何种条件下几何异常消失？超联络的曲率在此过程中起何作用？

主要发现

• 加权迹上链χⁿ^Q(A₀,…,Aₙ)由tr^Q(A₀⋯Aₙ)加上涉及Q⁻|k|与Aᵢ的伴随导数的Wodzicki余迹的有限和构成。
• 2p-上链的Hochschild上边界bχ²ᵖ^Q为Wodzicki余迹的有限线性组合，其系数包含(−1)^|k| |k|! / (k+1)!与Q的幂次。
• 当p=0时，代数异常（b tr^Q)(A,B)为对k求和，形式为(−1)^k / (k+1)倍的Wodzicki余迹，即tr_{Wodzicki}(AB⁽ᵏ⁺¹⁾Q⁻ᵏ⁻¹)。
• 家族中的几何异常由上链的协变导数捕获，当权算子为Bismut-Quillen超联络的曲率时，此类异常消失。
• 该构造产生类Chern-Weil的加权迹上链，当权算子为超联络曲率时，其在(b,B)-双复形下闭合。
• 多重线性型的梅林变换公式为χ̄ₙ,ₚ(z) ≃ Γ(z+n) TR(A₀⋯Aₙ Q⁻ⁿ⁻ᶻ) + ∑涉及高阶伴随作用与TR(Q⁻ⁿ⁻|k|⁻ᶻ)的项。