[论文解读] Weights for relative motives; relation with mixed sheaves

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 1

一句话总结

本文在基概形 $S$ 上的贝利尼森动机范畴上引入了楚权权重结构，建立了类似于混合层的函子性，并实现了取值于 $K^b(Chow(S))$ 的精确保守权重复形函子。证明了格罗滕迪克的 $S$-动机的 $K_0$-群与 $K_0(Chow(S))$ 同构，定义了动机欧拉示性数，并通过一种新的相对权重结构形式化方法，构建了与积分动机上同调及混合层权重相关的楚权-权重谱序列。

ABSTRACT

The main goal of this paper is to define the so-called Chow weight structure for the category of Beilinson motives over any 'reasonable' base scheme $S$ (this is the version of Voevodsky's motives over $S$ defined by Cisinski and Deglise). We also study the functoriality properties of the Chow weight structure (they are very similar to the well-known functoriality of weights for mixed complexes of sheaves). As shown in a preceding paper, the Chow weight structure automatically yields an exact conservative weight complex functor (with values in $K^b(Chow(S))$). Here $Chow(S)$ is the heart of the Chow weight structure; it is 'generated' by motives of regular schemes that are projective over $S$. Besides, Grothendiek's group of $S$-motives is isomorphic to $K_0(Chow(S))$; we also define a certain 'motivic Euler characteristic' for $S$-schemes. We obtain (Chow)-weight spectral sequences and filtrations for any cohomology of motives; we discuss their relation to Beilinson's 'integral part' of motivic cohomology and to weights of mixed complexes of sheaves. For the study of the latter we introduce a new formalism of relative weight structures.

研究动机与目标

• 在合理的基概形 $S$ 上的贝利尼森动机范畴上定义楚权权重结构，将权重理论扩展至动机范畴。
• 建立类似于混合层复形权重的楚权权重结构的函子性性质。
• 构造一个取值于 $K^b(Chow(S))$ 的精确保守权重复形函子，其中 $Chow(S)$ 是权重结构的中心。
• 证明格罗滕迪克的 $S$-动机的 $K_0$-群与 $K_0(Chow(S))$ 同构，从而将 $K$-理论与权重结构的中心联系起来。
• 为 $S$-概形定义动机欧拉示性数，并将楚权-权重滤子与贝利尼森的动机上同调的‘积分部分’及混合层权重联系起来。

提出的方法

• 通过取 $S$-概形中关于 $S$ 为射影的正则概形作为中心 $Chow(S)$ 的生成元，在 $S$ 上的贝利尼森动机范畴上定义楚权权重结构。
• 利用权重结构的形式化方法，构造取值于有界同伦范畴 $K^b(Chow(S))$ 的权重复形函子，确保其精确性与保守性。
• 在基变换及上推/下拉运算下建立楚权权重结构的函子性，使其与混合层权重的性质相一致。
• 引入一种新的相对权重结构形式化方法，以分析混合层复形的权重与动机之间的关系。
• 为任意动机的上同调构造楚权-权重谱序列，通过权重结构将其与积分动机上同调联系起来。
• 利用权重结构与 $Chow(S)$ 的 $K_0$-群，为 $S$-概形定义动机欧拉示性数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在基概形 $S$ 上的贝利尼森动机范畴上定义楚权权重结构？其函子性性质为何？
• RQ2 格罗滕迪克的 $S$-动机 $K_0$-群与楚权权重结构中心 $Chow(S)$ 的 $K_0$-群之间有何关系？
• RQ3 动机的楚权-权重谱序列如何与贝利尼森所设想的动机上同调的‘积分部分’相关联？
• RQ4 混合层复形的权重与动机上的楚权权重结构之间存在何种关系？
• RQ5 如何通过相对权重结构的形式化方法，统一研究动机与混合层中的权重理论？

主要发现

• 在 $S$ 上的贝利尼森动机范畴上的楚权权重结构，诱导出一个取值于 $K^b(Chow(S))$ 的精确保守权重复形函子，其中 $Chow(S)$ 是由关于 $S$ 射影的正则 $S$-概形生成的中心。
• 格罗滕迪克的 $S$-动机 $K_0$-群与 $K_0(Chow(S))$ 之间存在自然同构，为权重结构的中心提供了 $K$-理论实现。
• 通过权重结构，为 $S$-概形定义了动机欧拉示性数，将经典欧拉示性数推广至动机范畴。
• 为任意动机的上同调构造了楚权-权重谱序列，将其与贝利尼森所设想的动机上同调的‘积分部分’联系起来。
• 相对权重结构的形式化方法使得混合层复形的权重与动机的权重之间能够系统性地比较。
• 楚权权重结构的函子性与混合层权重的函子性一致，支持了动机理论与层论权重理论之间深层次的类比。