[论文解读] Weights of the mod $p$ kernel of the theta operators

Siegfried Boecherer, Toshiyuki Kikuta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文研究了在广义 theta 算子 $\Theta^{[j]}$ 的模 $p$ 核中的 Siegel 平常形式的权，证明了当权相对于 $p$ 较小时，在特定条件下该权必须被 $p$ 整除。本文引入了一个新算子 $A^{(j)}(M)$，用于从任意模形式构造核中的元素，并提供了多种权和素数下的显式例子及滤子结构。

ABSTRACT

We give some relations between the weights and the prime $p$ of elements of the mod $p$ kernel of the generalized theta operator $Θ^{[j]}$. In order to construct examples of the mod $p$ kernel of $Θ^{[j]}$ from any modular form, we introduce new operators $A^{(j)}(M)$ and show the modularity of $F|A^{(j)}(M)$ when $F$ is a modular form. Finally, we give some examples of the mod $p$ kernel of $Θ^{[j]}$ and the filtrations of some of them.

研究动机与目标

• 确定 Siegel 平常形式中元素位于广义 theta 算子 $\Theta^{[j]}$ 的模 $p$ 核中的权和素数 $p$ 的必要条件。
• 将 Ramanujan 的 $\theta$-算子的经典理论推广至高阶 Siegel 平常形式及其模 $p$ 核。
• 利用新算子 $A^{(j)}(M)$ 从任意模形式系统构造 $\Theta^{[j]}$ 的模 $p$ 核中的新元素。
• 计算并列出不同权和素数下 $\Theta^{[j]}$ 的模 $p$ 核中特定元素的滤子。
• 在 Siegel 平常形式模 $p$ 的背景下，推广先前关于同余与滤子的结论。

提出的方法

• 引入一个新算子 $A^{(j)}(M)$，作用于模形式以生成 $\Theta^{[j]}$ 的模 $p$ 核中的元素，并确保输出结果保持模形式性。
• 使用广义 theta 算子 $\Theta^{[j]}$，其定义为 $\sum_T T a_F(T) q^T$，其中 $F = \sum_T a_F(T) q^T$，以分析模 $p$ 下的核结构。
• 应用 Siegel 平常形式的傅里叶展开理论及其 $p$-进性质，研究核的结构。
• 利用关于 Klingen-Eisenstein 系列和尖点形式的已知结果，构造核中的显式例子。
• 使用 $p$-进滤子理论计算核元素的滤子，对权不超过 100 且素数小于 80 的情况提供详细表格。
• 利用辛群的作用和 slash 算子定义模形式不变性，确保 $F|A^{(j)}(M)$ 的模形式性。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么条件下，Siegel 平常形式的权 $k$ 和素数 $p$ 使得该形式属于 $\Theta^{[j]}$ 的模 $p$ 核？
• RQ2 能否从任意模形式系统性地构造 $\Theta^{[j]}$ 的模 $p$ 核中的新元素？
• RQ3 对于小权和不同素数，$\Theta^{[j]}$ 的模 $p$ 核中元素的显式滤子是什么？
• RQ4 当权和素数变化时，核元素的滤子行为如何，特别是与 $p$-整除性有何关联？
• RQ5 经典 $\theta$-算子的性质在 Siegel 平常形式设置下，对高阶 $\Theta^{[j]}$ 算子在多大程度上可以推广？

主要发现

• 当权相对于 $p$ 较小时，$\Theta^{[j]}$ 的模 $p$ 核中任意元素的权 $k$ 必须被 $p$ 整除，该结果将 Serre 和 Katz 的结果推广至高阶 Siegel 平常形式。
• 算子 $A^{(j)}(M)$ 能够成功地从任意模形式 $F$ 生成 $\Theta^{[j]}$ 的模 $p$ 核中的元素，且 $F|A^{(j)}(M)$ 保持模形式性。
• 提供了 $\Theta^{[j]}$ 的模 $p$ 核中元素的显式例子，包括权 $k = 12, 16, 24, 30, 48, 54, 58, 60$ 和素数 $p = 23, 31, 47, 59, 73$ 等。
• 计算并列出了核元素的滤子；例如，当 $F$ 的权为 24 且 $p=23$ 时，$\omega_1(F) = 1$，当权为 54 且 $p=59$ 时，$\omega_1(F) = 1$。
• $\Theta^{[2]}$ 的核在模 $p < 80$ 下包含非零形式，其权为 $k = 18, 24, 28, 30, 38, 42, 48, 50, 54, 58, 60, 66, 68, 72, 74, 78, 80, 83, 84, 88, 90, 92, 93, 96, 98$。
• 对于 $\Theta^{[1]}$，本文确认当权为 24 且 $p=23$ 时，滤子 $\omega_1(F)$ 为 1，当权为 54 且 $p=59$ 时，$\omega_1(F)$ 也为 1，表明其具有最小的 $p$-进赋值。