[论文解读] Weil-Petersson metric on the universal Teichmuller space II. Kahler potential and period mapping

Leon A. Takhtajan, Lee-Peng Teo|ArXiv.org|Jun 21, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文在全纯Teichmüller空间 $T_0(1)$ 上建立了Weil-Petersson度量作为Hilbert流形，证明了全纯Liouville作用量 $\mathsf{S}_1$ 是其Kähler势。此外，定义了一个全纯的全纯周期映射 $\hat{\mathscr{P}}$，取值于 $\ell^2$ 上有界算子的空间，表明其与KYNS周期映射一致，并将 $T_0(1)$ 映入Segal-Wilson Grassmannian，且对称同胚群的像映射至紧算子。

ABSTRACT

We study the Hilbert manifold structure on $T_{0}(1)$ -- the connected component of the identity of the Hilbert manifold T(1). We characterize points on $T_{0}(1)$ in terms of Bers and pre-Bers embeddings, and prove that the Grunsky operators $B_{1}$ and $B_{4}$, associated with the points in $T_{0}(1)$ via conformal welding, are Hilbert-Schmidt. We define a ``universal Liouville action'' -- a real-valued function $\SSS_{1}$ on $T_{0}(1)$, and prove that it is a Kähler potential of the Weil-Petersson metric on $T_{0}(1)$. We also prove that $\SSS_{1}$ is $- frac{1}{12π}$ times the logarithm of the Fredholm determinant of associated quasi-circle, which generalizes classical results of Schiffer and Hawley. We define the universal period mapping $\hat{\cP}: T(1) o\cB(\ell^{2})$ of T(1) into the Banach space of bounded operators on the Hilbert space $\ell^{2}$, prove that $\hat{\cP}$ is a holomorphic mapping of Banach manifolds, and show that $\hat{\cP}$ coincides with the period mapping introduced by Kurillov and Yuriev and Nag and Sullivan. We prove that the restriction of $\hat{\cP}$ to $T_{0}(1)$ is an inclusion of $T_{0}(1)$ into the Segal-Wilson universal Grassmannian, which is a holomorphic mapping of Hilbert manifolds. We also prove that the image of the topological group $S$ of symmetric homeomorphisms of $S^{1}$ under the mapping $\hat{\cP}$ consists of compact operators on $\ell^{2}$.

研究动机与目标

• 表征全纯Teichmüller空间 $T(1)$ 的单位连通分支 $T_0(1)$ 的Hilbert流形结构。
• 定义并证明全纯Liouville作用量 $\mathsf{S}_1$ 是 $T_0(1)$ 上Weil-Petersson度量的Kähler势。
• 建立从 $T(1)$ 到 $\mathscr{B}(\ell^2)$ 的全纯全息周期映射 $\hat{\mathscr{P}}$，并证明其与KYNS及Nag-Sullivan构造相容。
• 证明对称同胚群 $S$ 在 $\hat{\mathscr{P}}$ 下的像由 $\ell^2$ 上的紧算子构成。
• 证明与 $T_0(1)$ 中点相关的Grunsky算子 $B_1$ 和 $B_4$ 是Hilbert-Schmidt算子，从而与Fredholm行列式及经典结果相联系。

提出的方法

• 通过预-Bers嵌入 $\hat{\beta}$ 表征 $T_0(1)$，并证明其为对称同胚群 $S$ 的子群。
• 利用Becker-Pommerenke定理与Gardiner-Sullivan刻画，将 $T_0(1)$ 与 $\mathbb{D}$ 和 $\mathbb{D}^*$ 上具有平方可积导数的全纯函数空间 $A_2^1(\mathbb{D})$ 和 $A_2^1(\mathbb{D}^*)$ 联系起来。
• 在 $T_0(1)$ 上定义全纯Liouville作用量 $\mathsf{S}_1$ 为实值函数，并证明其为Weil-Petersson度量的Kähler势。
• 证明 $\mathsf{S}_1 = -\frac{1}{12\pi} \log \det_{\text{Fredholm}}(I - B_1 B_1^*)$，推广了Schiffer与Hawley的结果。
• 利用Grunsky算子定义全纯周期映射 $\hat{\mathscr{P}}: T(1) \to \mathscr{B}(\ell^2)$，并证明其作为Banach流形映射是全纯的。
• 证明 $\hat{\mathscr{P}}$ 限制在 $T_0(1)$ 上时，将 $T_0(1)$ 拓扑嵌入Segal-Wilson全纯Grassmannian，形成全纯Hilbert流形嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 全纯Liouville作用量 $\mathsf{S}_1$ 是否为 $T_0(1)$ 上Weil-Petersson度量的Kähler势？
• RQ2 与 $T_0(1)$ 中点相关的Grunsky算子 $B_1$ 和 $B_4$ 如何与Hilbert-Schmidt及Fredholm性质相关联？
• RQ3 全纯周期映射 $\hat{\mathscr{P}}$ 是否与KYNS及Nag-Sullivan周期映射一致？
• RQ4 $S^1$ 上对称同胚群 $S$ 在 $\hat{\mathscr{P}}$ 下的像是什么？
• RQ5 能否用 $\mathsf{S}_1$ 表达 $I - B_1 B_1^*$ 的Fredholm行列式？

主要发现

• 全纯Liouville作用量 $\mathsf{S}_1$ 是 $T_0(1)$ 上Weil-Petersson度量的Kähler势，显式表达为 $\mathsf{S}_1 = -\frac{1}{12\pi} \log \det_{\text{Fredholm}}(I - B_1 B_1^*)$。
• 与 $T_0(1)$ 中点相关的Grunsky算子 $B_1$ 和 $B_4$ 是Hilbert-Schmidt算子，其Fredholm行列式通过全纯Liouville作用量与Kähler势相关联。
• 全纯周期映射 $\hat{\mathscr{P}}: T(1) \to \mathscr{B}(\ell^2)$ 是Banach流形之间的全纯映射，且与KYNS及Nag-Sullivan周期映射一致。
• $\hat{\mathscr{P}}$ 限制在 $T_0(1)$ 上时，是将 $T_0(1)$ 全纯嵌入Segal-Wilson全纯Grassmannian的映射，且该嵌入可实现为Hilbert流形嵌入。
• $S^1$ 上对称同胚群 $S$ 在 $\hat{\mathscr{P}}$ 下的像是 $\ell^2$ 上紧算子的理想 $\mathscr{S}_\infty$ 的子集。
• 周期映射 $\hat{\mathscr{P}}$ 是连续的，且尊重嵌入塔 $T_0(1) \hookrightarrow S \hookrightarrow T(1)$，所有映射均为全纯且与Bers及预-Bers嵌入相容。