[论文解读] Weisfeiler-Leman, Graph Spectra, and Random Walks

Gaurav Rattan, Tim Seppelt|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Graph theory and applications参考文献 24被引用 1

一句话总结

本文引入了广义拉普拉斯矩阵——一类特定的矩阵族，通过其谱性质表征2-Weisfeiler-Leman（2-WL）算法的表达能力。证明了2-WL边颜色决定了随机游走中的 commute 距离，建立了WL与图扩散过程之间的谱联系。

ABSTRACT

The Weisfeiler--Leman algorithm is a ubiquitous tool for the Graph Isomorphism Problem with various characterisations in e.g. descriptive complexity and convex optimisation. It is known that graphs that are not distinguished by the two-dimensional variant have cospectral adjacency matrices. We tackle a converse problem by proposing a set of matrices called Generalised Laplacians that characterises the expressiveness of WL in terms of spectra. As an application to random walks, we show using Generalised Laplacians that the edge colours produced by 2-WL determine commute distances.

研究动机与目标

• 解决已知结果的逆问题：即2-WL无法区分具有共谱邻接矩阵的非同构图。
• 通过一类新矩阵的谱性质，表征2-WL算法的表达能力。
• 建立2-WL边着色与基于随机游走的图度量（如 commute 距离）之间的联系。

提出的方法

• 提出一类称为广义拉普拉斯矩阵的矩阵族，其为标准图拉普拉斯矩阵的推广，旨在反映2-WL着色信息。
• 通过广义拉普拉斯矩阵的谱分析，表征2-WL无法区分的图。
• 建立2-WL边颜色与这些矩阵结构之间的对应关系，从而实现对2-WL表达能力的谱表征。
• 通过证明2-WL边着色编码了足够信息以精确计算 commute 距离，将谱框架应用于随机游走。
• 利用矩阵理论与图论，证明广义拉普拉斯矩阵的谱能够捕捉2-WL不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 2-WL算法的表达能力能否通过某一类特定矩阵的谱来表征？
• RQ2 2-WL边着色与图矩阵谱性质之间存在何种关系？
• RQ3 2-WL边颜色能否用于计算随机游走中的 commute 距离？
• RQ4 广义拉普拉斯矩阵是否能提供2-WL等价类的谱表征？

主要发现

• 广义拉普拉斯矩阵的构造使其谱能够完全表征2-WL算法的表达能力。
• 2-WL无法区分的图在广义拉普拉斯矩阵构造下具有相同的谱。
• 2-WL产生的边着色唯一确定了图中所有顶点对之间的 commute 距离。
• 通过广义拉普拉斯矩阵建立的谱框架为分析2-WL不变量提供了新的代数工具。