[论文解读] Well-posedness of supercritical SDE driven by Lévy processes with irregular drifts

Zhen-Qing Chen, Xicheng Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 16

一句话总结

本文建立了由非退化 $α$-稳定类似 Lévy 过程驱动的一类超临界随机微分方程（SDE）的强适定性，其时间依赖、赫尔德连续的漂移项阶数为 $β \in (1 - \alpha/2, 1)$，扩散系数满足一致椭圆性和利普希茨连续性。关键结果是即使漂移项不满足利普希茨条件，强解的存在性与路径唯一性仍成立，将先前结果推广至具有不规则系数的超临界区域。

ABSTRACT

In this paper, we study the following time-dependent stochastic differential equation (SDE) in ${\bf R}^d$: $$ d X_{t}= σ_t(X_{t-}) d Z_t + b_t(X_{t})d t, \quad X_{0}=x\in {\bf R}^d, $$ where $Z$ is a $d$-dimensioanl nondegenerate $α$-stable-like process with $α\in(0,2)$ (including cylindrical case), and uniform in $t\geq 0$, $x\mapsto σ_t(x): {\bf R}^d o {\bf R}^d\otimes {\bf R}^d$ is Lipchitz and uniformly elliptic and $x\mapsto b_t (x)$ is $β$-order Hölder continuous with $β\in(1-α/2,1)$. Under these assumptions, we show the above SDE has a unique strong solution for every starting point $x \in {\bf R}^d$. When $σ_t (x)={\bf I}_{d imes d}$, the $d imes d$ identity matrix, our result in particular gives an affirmative answer to the open problem of Priola (2015).

研究动机与目标

• 建立由非退化 $α$-稳定类似 Lévy 过程驱动、具有不规则漂移项的一类超临界 SDE 的强解存在性与唯一性。
• 解决漂移项仅具有赫尔德连续性指数 $β \in (1 - \alpha/2, 1)$（而非利普希茨连续）时的强适定性开放问题。
• 将佐夫金变换与噪声正则化技术推广至具有纯跳跃 Lévy 噪声的超临界区域。
• 通过结合局部化、停时论证及对漂移项的贝索夫空间估计，处理非利普希茨漂移情形。
• 为非高斯、超临界 Lévy 噪声下具有不规则系数的 SDE 提供一个通用框架。

提出的方法

• 通过在一系列停时 $\tau_n$ 上使用局部化与归纳法，分段构造解，使得过程跳跃不致过远。
• 通过引入扰动漂移 $b^\ell_t(x) = b_t(x) + \sigma_t(x)\ell$，应用改进的佐夫金型变换，对 SDE 进行正则化，确保在局部时间区间内可解。
• 采用截断与延拓技术，定义新的扩散系数 $\sigma'$，使其在半径为 $\varepsilon/2$ 的局部球面上满足一致椭圆性与利普希茨连续性。
• 依赖贝索夫空间估计控制漂移项的赫尔德半范数，证明 $\|b\|_{B^\beta_{p,\infty}} \leq C\|b\|_{C^\beta}$ 对于 $\beta \in (1 - \alpha/2, 1)$ 成立。
• 利用 Lévy-Itō 分解将跳跃分为小跳跃与大跳跃，通过补偿泊松随机测度 $\tilde{N}$ 聚焦于小跳跃分量。
• 在每个区间 $[\tau_n, \tau_{n+1})$ 上通过皮卡迭代实现路径构造，利用过程的马氏性与强马氏性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当漂移项仅具有赫尔德连续性指数 $\beta \in (1 - \alpha/2, 1)$ 时，能否为由超临界 $α$-稳定类似 Lévy 过程驱动的 SDE 建立强适定性？
• RQ2 当缺乏扩散项（即纯跳跃 Lévy 噪声）时，是否仍存在足够的噪声正则化效应以保证路径唯一性？
• RQ3 佐夫金变换技术能否被适配至具有不规则漂移项的非高斯、超临界区域？
• RQ4 在漂移项不满足利普希茨连续性时，Lévy 测度与系数需满足何种条件，才能保证强解的存在性与唯一性？
• RQ5 当漂移项仅具有局部赫尔德连续性，且系数依赖于局部球半径时，强适定性是否仍保持？

主要发现

• 在 $\sigma_t(x)$ 满足一致椭圆性与利普希茨连续性，且 $b_t(x)$ 具有赫尔德连续性指数 $\beta \in (1 - \alpha/2, 1)$ 的条件下，对任意初始条件 $x \in \mathbb{R}^d$，SDE 存在唯一的强解。
• 该结果解决了文献 [12] 中 $\sigma_t(x) = \mathbb{I}_{d \times d}$ 情形下的开放问题，确认即使漂移项不满足利普希茨连续性，强适定性依然成立。
• 该方法通过停时序列 $\tau_n$ 构造解，确保在每个区间 $[\tau_n, \tau_{n+1})$ 上具有局部可解性与路径唯一性。
• 证明漂移项属于贝索夫空间 $B^\beta_{p,\infty}$，其范数受其赫尔德半范数控制，从而可应用基于 PDE 的正则化技术。
• 构造确保 $X_t$ 关于 ${\mathscr{F}}_t$ 可测且右连续，且 $\tau_{n+1}$ 为停时，从而确认了解的自适应性。
• 对于局部赫尔德连续的系数，解在爆炸时间 $\zeta$ 前存在，且满足 $\lim_{t \uparrow \zeta} X_t = \infty$，在局部条件下将结果推广至全局存在性。