[论文解读] Well-quasi-ordering, tree-width and subquadratic properties of graphs

Aistis Atminas, Vadim Lozin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用 5

一句话总结

该论文证明，若一个遗传图类具有次二次边数增长（即边数增长慢于n的平方），则其在诱导子图关系下是良拟序的，当且仅当其树宽有界。该结果证实了一个加强版的猜想，即良拟序性与有界 clique-width 相关联，并表明对于次二次类，良拟序性可在多项式时间内判定。

ABSTRACT

A hereditary graph property (or a class of graphs) $X$ is subquadratic if there is a subquadratic function $f(n)=o(n^2)$ bounding the number of edges in all $n$-vertex graphs in $X$. In this paper, we prove that a hereditary class which is well-quasi-ordered by the induced subgraph relation is of bounded tree-width if and only if it is subquadratic. This verifies (and even strengthens) for subquadratic properties a recent conjecture by Thomass\'e et al. stating that every hereditary class which is well-quasi-ordered by the induced subgraph relation is of bounded clique-width. As a byproduct, we also show that deciding well-quasi-orderability for subquadratic classes is an easy task.

研究动机与目标

• 研究遗传图类中良拟序性、有界树宽与次二次边数增长之间的结构性关系。
• 验证 Thomassé 等人提出的关于良拟序性与有界 clique-width 关联的猜想的加强版本。
• 确定良拟序性是否可被高效判定于次二次图类。
• 阐明次二次边数边界在刻画良拟序遗传图类中的作用。

提出的方法

• 作者在诱导子图关系下分析遗传图类，重点关注边密度为次二次的类。
• 采用结构图论技术，特别是利用树宽与良拟序性（WQO）的性质。
• 证明利用了次二次类不包含大完全图的事实，并据此界定树宽。
• 在次二次类中，建立了良拟序性与有界树宽之间的逻辑等价性。
• 通过将良拟序性判定归约为有界树宽测试，证明了其多项式时间可判定性，而后者已知可在多项式时间内判定。
• 论证依赖于：诱导子图序中的任何无限反链都会违反次二次边数边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在次二次遗传图类中，诱导子图关系下的良拟序性是否蕴含树宽有界？
• RQ2 能否将良拟序性与有界 clique-width 关联的猜想加强为通过树宽进行刻画？
• RQ3 对于次二次图类，良拟序性是否可在多项式时间内判定？
• RQ4 次二次边数边界对良拟序遗传图类施加了哪些结构性约束？

主要发现

• 若一个遗传图类在诱导子图关系下是良拟序的，则其树宽有界当且仅当该类是次二次的。
• 该结果证实了 Thomassé 等人猜想的加强版本，表明在次二次类中，有界树宽与良拟序性等价。
• 次二次遗传图类是良拟序的，当且仅当其树宽有界。
• 良拟序性在次二次类中可多项式时间判定，因为其可归约为有界树宽测试。
• 证明表明，诱导子图序中的任何无限反链必须包含一个子序列，其边数增长超过二次，从而与次二次假设矛盾。
• 该结果意味着树宽无界的次二次类不可能是良拟序的。