[论文解读] Weyl modules and opers without monodromy

Edward Frenkel, Dennis Gaitsgory|ArXiv.org|Jun 25, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用 9

一句话总结

本文建立了在临界水平下，Weyl模的自同态代数与具有正则奇点且残数由最高权决定的单值自由 $\check{\mathfrak{g}}$-主从微分形式空间上函数代数之间的精确同构。该结果为临界水平仿射 Kac–Moody 代数的中心提供了几何实现，并通过主从微分形式数据为局部几何 Langlands 对应关系提供了一个检验。

ABSTRACT

We prove that the algebra of endomorphisms of a Weyl module of critical level is isomorphic to the algebra of functions on the space of monodromy-free opers on the disc with regular singularity and residue determined by the highest weight of the Weyl module. This result may be used to test the local geometric Langlands correspondence proposed in our earlier work arXiv:math/0508382.

研究动机与目标

• 在主从微分形式的术语下，建立 Weyl 模在临界水平下的自同态代数的几何实现。
• 将临界仿射 Kac–Moody 代数的中心与主从微分形式之间的对应关系扩展到 Weyl 模，与 Verma 模和真空模的早期结果相呼应。
• 通过将表示论与无单值性的几何对象（主从微分形式）联系起来，为局部几何 Langlands 对应关系提供一个检验。
• 证明 Weyl 模 $\mathbb{V}_\lambda$ 是具有指定残数的单值自由主从微分形式空间上函数代数上的自由模。

提出的方法

• 使用临界水平仿射 Kac–Moody 代数 $\widehat{\mathfrak{g}}_{\operatorname{crit}}$ 及其完备化 $\widetilde{U}_{\operatorname{crit}}(\widehat{\mathfrak{g}})$，通过从有限维 ${\mathfrak{g}}$-模诱导的方式定义离散表示和 Weyl 模。
• 应用已知的同构 $\mathfrak{Z}_{\mathfrak{g}} \cong \operatorname{Fun} \operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}({\mathcal{D}}^\times)$，即中心与在穿孔圆盘上 $\check{\mathfrak{g}}$-主从微分形式上函数之间的同构。
• 引入空间 $\operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}^{\lambda,\operatorname{reg}}$，即具有正则奇点和残数 $\varpi(-\lambda - \rho)$ 的 $\check{\mathfrak{g}}$-主从微分形式，该空间参数化了 Weyl 模 $\mathbb{V}_\lambda$ 的自同态代数。
• 通过 $\operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}^{\lambda,\operatorname{reg}}$ 上的通用 $\check{G}$-丛的 Atiyah代数丛作用于 $\mathbb{V}_\lambda$，从而实现自由模结构。
• 利用 $L_0 = -t\partial_t$ 的 $\mathbb{Z}$-分次和 $\operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}^{\lambda,\operatorname{reg}}$ 上的齐次坐标系，将该作用提升至 Weyl 代数，从而证明自由性。
• 基于最高权向量和映射 $({\mathbb{V}}_{\lambda})^{\widehat{\mathfrak{n}}_{+}}_{\lambda} \to W_\lambda$ 的单射性，采用反证法证明同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界水平下，Weyl 模的自同态代数是否同构于具有正则奇点和指定残数的 $\check{\mathfrak{g}}$-主从微分形式空间上函数的代数？
• RQ2 是否可以通过 Weyl 模与无单值性的主从微分形式之间的对应关系来检验局部几何 Langlands 对应关系？
• RQ3 Weyl 模 $\mathbb{V}_\lambda$ 是否为 $\operatorname{Fun}(\operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}^{\lambda,\operatorname{reg}})$ 上的自由模？
• RQ4 中心 $\mathfrak{Z}_{\mathfrak{g}}$ 在 $\mathbb{V}_\lambda$ 上的作用如何与具有平凡单值性的主从微分形式的几何相关？

主要发现

• 自同态代数 $\operatorname{End}_{{\widehat{\mathfrak{g}}}_{\operatorname{crit}}}({\mathbb{V}}_{\lambda})$ 同构于 $\operatorname{Fun}(\operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}^{\lambda,\operatorname{reg}})$，即具有正则奇点和残数 $\varpi(-\lambda - \rho)$ 的 $\check{\mathfrak{g}}$-主从微分形式空间上函数的代数。
• $\operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}^{\lambda,\operatorname{reg}}$ 同构于一个无限维仿射空间，可赋予具有严格正 $L_0$-次数的齐次坐标系。
• Weyl 模 $\mathbb{V}_\lambda$ 是 $\operatorname{Fun}(\operatorname{Op}_{\check{\mathfrak{g}}}^{\lambda,\operatorname{reg}})$ 上的自由模，其作用由坐标及其微分生成的 Weyl 代数实现。
• $\mathfrak{Z}_{\mathfrak{g}}$ 在 $\mathbb{V}_\lambda$ 上的作用通过对应于残数 $\varpi(-\lambda - \rho)$ 的商映射实现，确认了中心的主从微分形式几何实现。
• 该同构与包含中心与自同态代数的交换图相容，扩展了对 Verma 模和真空模的已知结果。