[论文解读] Weyl quantization of degree 2 symplectic graded manifolds

Melchior Grützmann, Jean-Philippe Michel+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用 8

一句话总结

本文引入了伪欧几里得向量丛（偶数秩）上旋量丛上微分算子代数的一种新滤子，证明其对应的约化代数同构于一个度数为2的辛齐次流形上光滑函数的代数。利用此结果，构造了一个Weyl量子化映射，建立了柯朗代数胚结构与斜对称Dirac生成算子之间的双射关系，其中 $D^2$ 作为新不变量，推广了卡坦3-形式的平方范数。

ABSTRACT

Let $S$ be a spinor bundle of a pseudo-Euclidean vector bundle $(E,\mathrm{g})$ of even rank. We introduce a new filtration on the algebra $\mathcal{D}(M,S)$ of differential operators on $S$. As main property, the associated graded algebra $\mathrm{gr}\mathcal{D}(M,S)$ is isomorphic to the algebra $\mathcal{O}(\mathcal{M})$ of functions on $\mathcal{M}$, where $\mathcal{M}$ is the symplectic graded manifold of degree $2$ canonically associated to $(E,\mathrm{g})$. Accordingly, we define the Weyl quantization on $\mathcal{M}$ as a map $\mathcal{WQ}_\hbar:\mathcal{O}(\mathcal{M}) o\mathcal{D}(M,S)$, and prove that $\mathcal{WQ}_\hbar$ satisfies all desired usual properties. As an application, we obtain a bijection between Courant algebroid structures $(E,\mathrm{g},ρ,[\cdot,\cdot])$, that are encoded by Hamiltonian generating functions on $\mathcal{M}$, and skew-symmetric Dirac generating operators $D\in\mathcal{D}(M,S)$. The operator $D^2$ gives a new invariant of $(E,\mathrm{g},ρ,[\cdot,\cdot])$, which generalizes the square norm of the Cartan $3$-form of a quadratic Lie algebra. We study in detail the particular case of $E$ being the double of a Lie bialgebroid $(A,A^*)$.

研究动机与目标

• 在偶数秩伪欧几里得向量丛上的旋量丛上微分算子代数上发展一种新滤子。
• 证明该滤子对应的约化代数同构于与 $(E,\mathrm{g})$ 相关联的典范度数为2的辛齐次流形 $\mathcal{M}$ 上光滑函数的代数。
• 从齐次流形上的函数构造一个Weyl量子化映射，取值于微分算子，且满足标准量子化性质。
• 将该量子化方法应用于建立柯朗代数胚结构与斜对称Dirac生成算子之间的对应关系。
• 为柯朗代数胚定义并研究一个新不变量 $D^2$，其推广了二次李代数中卡坦3-形式的平方范数。

提出的方法

• 在伪欧几里得向量丛 $(E,\mathrm{g})$（偶数秩）上的旋量丛 $S$ 的微分算子代数 $\mathcal{D}(M,S)$ 上引入一种新滤子。
• 证明该滤子对应的约化代数 $\operatorname{gr}\mathcal{D}(M,S)$ 同构于与 $(E,\mathrm{g})$ canonical 关联的度数为2的辛齐次流形 $\mathcal{M}$ 上的光滑函数代数 $\mathcal{O}(\mathcal{M})$。
• 利用该同构关系构造Weyl量子化映射 $\mathcal{WQ}_\hbar: \mathcal{O}(\mathcal{M}) \to \mathcal{D}(M,S)$，并验证其满足标准量子化公理。
• 利用该量子化映射，建立 $E$ 上柯朗代数胚结构与斜对称Dirac生成算子 $D \in \mathcal{D}(M,S)$ 之间的双射关系。
• 将算子 $D^2$ 定义为柯朗代数胚结构的新不变量，其推广了二次李代数中卡坦3-形式的平方范数。
• 在 $E$ 为李双胚 $(A,A^*)$ 的双倍情形下分析 $D^2$，证明在局部平凡化下其表达式为 $\frac{1}{2}\langle\zeta_0,\eta_0\rangle - \widehat{Q}_*\eta_0$，其中 $\zeta_0$ 和 $\eta_0$ 为模形式1-上循环。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造旋量微分算子代数上的新滤子，使其对应的约化代数同构于度数为2的辛齐次流形上光滑函数的代数？
• RQ2 能否从此类齐次流形上的函数定义一个Weyl量子化映射，取值于微分算子，并满足量子化所需的性质？
• RQ3 通过此量子化方法，是否存在柯朗代数胚结构与斜对称Dirac生成算子之间的典范对应关系？
• RQ4 柯朗代数胚的算子 $D^2$ 的几何与代数意义为何？其如何推广已知不变量？
• RQ5 在 $E$ 为李双胚 $(A,A^*)$ 的双倍情形下，不变量 $D^2$ 的行为如何？其显式表达式为何？

主要发现

• 约化代数 $\operatorname{gr}\mathcal{D}(M,S)$ 同构于与 $(E,\mathrm{g})$ 相关联的典范度数为2的辛齐次流形 $\mathcal{M}$ 上光滑函数的代数 $\mathcal{O}(\mathcal{M})$。
• Weyl量子化映射 $\mathcal{WQ}_\hbar: \mathcal{O}(\mathcal{M}) \to \mathcal{D}(M,S)$ 已构造并证明满足所有标准量子化性质。
• 存在柯朗代数胚结构 $(E,\mathrm{g},\rho,\llbracket\cdot,\cdot\rrbracket)$ 与斜对称Dirac生成算子 $D \in \mathcal{D}(M,S)$ 之间的双射关系。
• $D^2$ 是柯朗代数胚结构的新不变量，推广了二次李代数中卡坦3-形式的平方范数。
• 当 $E$ 为李双胚 $(A,A^*)$ 的双倍时，在局部平凡化下不变量 $D^2$ 的表达式为 $\frac{1}{2}\langle\zeta_0,\eta_0\rangle - \widehat{Q}_*\eta_0$，其中 $\zeta_0$ 和 $\eta_0$ 为模形式1-上循环。
• 建立了等价关系 $\{\Theta,\Theta\}=0 \iff \left(\operatorname{L}_Q + \beta \circ \operatorname{L}_{Q_*} \circ \beta^{-1}\right)^2 \in C^\infty(M)$，将哈密顿条件与Dirac算子的平方联系起来。