[论文解读] Weyl's law on $RCD^*(K,N)$ metric measure spaces

Hui-Chun Zhang, Xi-Ping Zhu|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 47被引用 9

一句话总结

本文在 $RCD^*(K,N)$ 度量测度空间上建立了狄利克雷特征值的外尔定律，证明了特征值的渐近分布与有界区域的 $N$-维豪斯多夫测度成比例。该结果将经典谱渐近性推广至具有合成 Ricci 曲率下界、非光滑且奇异的空间，利用热核收敛性与 pointed measured Gromov-Hausdorff 极限上的谱计数函数，实现了这一推广。

ABSTRACT

In this paper, we will prove the Weyl's law for the asymptotic formula of Dirichlet eigenvalues on metric measure spaces with generalized Ricci curvature bounded from below.

研究动机与目标

• 将外尔定律——原本仅适用于光滑黎曼流形——推广至具有合成下界 Ricci 曲率的非光滑度量测度空间。
• 在参考测度与 $N$-维豪斯多夫测度相互绝对连续的条件下，建立 $RCD^*(K,N)$ 空间中狄利克雷特征值的渐近分布。
• 证明特征值计数函数 $N_{\rm \text{\Omega}}(\lambda)$ 满足经典外尔渐近公式，其中涉及区域的 $N$-维豪斯多夫测度。
• 将此前关于加权黎曼流形与亚历山德罗夫空间的结果推广至 $RCD^*(K,N)$ 空间的完整类。

提出的方法

• 将 $RCD^*(K,N)$ 条件用作合成下界 Ricci 曲率的界定，确保了 Sobolev 空间与 Dirichlet 型的良定性。
• 应用 pointed measured Gromov-Hausdorff (pmGH) 收敛性来分析 $RCD^*(K,N)$ 空间序列及其谱性质。
• 通过一致估计与测度的弱收敛性，建立 pmGH 收敛空间上局部 Dirichlet 热核的收敛性。
• 在 pmGH 收敛框架下，应用 Fatou 引理与控制收敛定理，处理函数及其积分在 $L^1$-范数下的极限传递。
• 通过结合谱紧致性、特征值交错性以及热迹积分的收敛性，推导出外尔渐近公式。
• 依赖于当总测度有限时 $RCD^*(K,N)$ 与 $RCD(K,N)$ 的等价性，以应用已知的谱结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有合成下界 Ricci 曲率的非光滑度量测度空间中，狄利克雷特征值的外尔定律是否成立？
• RQ2 当测度与 $N$-维豪斯多夫测度相互绝对连续时，$RCD^*(K,N)$ 空间中是否可恢复经典外尔渐近公式？
• RQ3 在 $RCD^*(K,N)$ 空间中有界区域上的拉普拉斯算子特征值，当特征值趋于无穷时，其渐近行为如何？
• RQ4 外尔渐近公式是否独立于参考测度 $\mu$，而仅依赖于区域的 $N$-维豪斯多夫测度？
• RQ5 能否在 $RCD^*(K,N)$ 空间上，通过经典外尔公式将谱计数函数与区域体积渐近关联？

主要发现

• 外尔渐近公式在 $RCD^*(K,N)$ 空间中成立：$\lim_{\lambda\to\infty}\frac{N_{\Omega}(\lambda)}{\lambda^{N/2}} = \frac{\omega_N \cdot \mathscr{H}^N(\Omega)}{(2\pi)^N}$，其中 $N_{\Omega}(\lambda)$ 计数的是不超过 $\lambda$ 的狄利克雷特征值。
• 该渐近公式独立于参考测度 $\mu$，仅依赖于 $N$-维豪斯多夫测度 $\mathscr{H}^N(\Omega)$，前提是 $\mu \ll \mathscr{H}^N \ll \mu$。
• 该结果将经典外尔定律从光滑黎曼流形推广至奇异空间，如下界曲率的 $n$-维亚历山德罗夫空间。
• 对于 Ricci 曲率有下界的黎曼流形序列的非坍缩 Gromov-Hausdorff 极限空间，外尔定律在极限空间中成立。
• 证明依赖于 pmGH 收敛下热核与谱计数函数的收敛性，关键工具为适用于该收敛框架的 Fatou 引理与控制收敛定理。
• 渐近公式中的维数 $N$ 必为整数，且在区域直径严格小于全空间直径除以某个 $s>1$ 的条件下成立。