[论文解读] What is Statistics?; The Answer by Quantum Language

Shiro Ishikawa|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文提出，统计学的最佳理解方式是通过量子语言——一种测量理论的语言学解释——将统计推断、假设检验、最大似然法、贝叶斯方法和回归分析统一在一个基础框架之下。通过将所有科学测量视为受量子类似公理支配的语言过程，本文表明统计推理自然地由此世界观中产生，为统计学和科学整体提供了一个统一且形而上学上一致的基础。

ABSTRACT

Since the problem: "What is statistics?" is most fundamental in sceince, in order to solve this problem, there is every reason to believe that we have to start from the proposal of a worldview. Recently we proposed measurement theory (i.e., quantum language, or the linguistic interpretation of quantum mechanics), which is characterized as the linguistic turn of the Copenhagen interpretation of quantum mechanics. This turn from physics to language does not only extend quantum theory to classical theory but also yield the quantum mechanical world view (i.e., the (quantum) linguistic world view, and thus, a form of quantum thinking, in other words, quantum philosophy). Thus, we believe that the quantum lingistic formulation of statistics gives an answer to the question: "What is statistics?". In this paper, this will be done through the studies of inference interval, statistical hypothesis testing, Fisher maximum likelihood method, Bayes method and regression analysis in meaurement theory.

研究动机与目标

• 通过将其建立在一种新的科学世界观基础上，解决根本问题‘什么是统计学？’
• 用语言学世界观（即量子语言）取代传统的机械世界观，作为所有科学的基础
• 表明统计方法——包括费歇尔的似然法、贝叶斯推断和回归——可从统一的测量理论框架中推导出来
• 确立量子语言作为科学探究的语言学与哲学基础的终极地位
• 提供一个涵盖经典与量子理论的、明确的、公理化的统计学表述

提出的方法

• 将测量理论（MT）形式化为C*-代数结构，包括纯（PMT）和统计（SMT）两个分支
• 在量子力学中引入语言学转向，将测量解释为基于语言的描述，而非物理过程
• 通过马尔可夫算子实现状态转移，利用树状结构的时间序列测量定义序列因果可观测量
• 通过费歇尔最大似然原理和贝叶斯定理的量子语言表述推导统计推断
• 通过状态演化和可观测量代数，将因果费歇尔-贝叶斯方法构建为回归分析的推广
• 使用玻恩法则和状态更新规则，以数学上严格的方式计算后验状态和推断概率

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一基础世界观下统一统计学？
• RQ2 语言在科学测量中扮演什么角色，它如何涵盖经典与量子理论？
• RQ3 统计推断、假设检验和回归能否从单一测量理论框架中推导出来？
• RQ4 量子语言解释如何解决统计学中长期存在的哲学问题？
• RQ5 科学描述的最终本质是什么，它与物理学中的语言学转向有何关联？

主要发现

• 本文确立了所有统计方法——置信区间、假设检验、最大似然法、贝叶斯推断和回归——均可从单一测量理论框架中推导出来。
• 因果费歇尔-贝叶斯方法被形式化地推导为回归的推广，通过状态演化统一了费歇尔的似然法与贝叶斯的更新。
• 测量后的后验状态为 $\nu_T^a = [B_{\widehat{\mathsf{O}}_{t_0}}(\times_{t\in T}\Xi_t)](\nu_0)$，其中 $\nu_0$ 通过在集合 $K$ 上的最大似然法选定。
• 对于 $\nu_0 = \delta_{(0.4,1.4)}$ 的例子，时间1的推断状态为 $\nu_{\{1\}}^a = \delta_{1.8}$，与模型一致。
• 该框架将经典统计程序解释为量子语言公理的推论，为统计学提供了形而上学基础。
• 本文结论认为，科学本质上是语言性的：所有现象均通过量子语言描述，使其成为科学的最终世界观。