[论文解读] What Symmetries are Preserved by a Fermion Boundary State?

Philip Boyle Smith, David Tong|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 27被引用 18

一句话总结

本文对1+1维2N个Majorana费米子的边界态进行分类，这些边界态保持手征性费米子统计数（chiral fermion parity），并表明此类边界态仅在8整除2N时存在。通过有理正交矩阵R和荷格 Lattice Λ[R] 识别出增强的连续对称性，其中SO(8)边界态（由Maldacena-Ludwig单极子态实现）展现出最大对称性。主要结果是对Z₂×Z₂对称性保护的边界态的完整分类，dyon4态为最小示例，并提出一个猜想：不可约dyon态在所有此类边界态中具有最低的中心电荷。

ABSTRACT

Usually, a left-moving fermion in d=1+1 dimensions reflects off a boundary to become a right-moving fermion. This means that, while overall fermion parity $(-1)^F$ is conserved, chiral fermion parity for left- and right-movers individually is not. Remarkably, there are boundary conditions that do preserve chiral fermion parity, but only when the number of Majorana fermions is a multiple of 8. In this paper we classify all such boundary states for $2N$ Majorana fermions when a $U(1)^N$ symmetry is also preserved. The fact that chiral-parity-preserving boundary conditions only exist when $2N$ is divisible by 8 translates to an interesting property of charge lattices. We also classify the enhanced continuous symmetry preserved by such boundary states. The state with the maximum such symmetry is the $SO(8)$ boundary state, first constructed by Maldacena and Ludwig to describe the scattering of fermions off a monopole

研究动机与目标

• 对1+1维2N个Majorana费米子的边界态进行分类，要求其保持手征性费米子统计数(−1)FL和(−1)FR。
• 确定在何种条件下U(1)N对称性与手征性费米子统计数同时被保留。
• 识别在这些边界态中出现的增强连续对称性（如SO(8)），并阐明其由矩阵R = ¯Q⁻¹Q所决定的机制。
• 表征Z₂×Z₂对称性保护的边界态所允许的中心电荷gR的完整谱，并识别出具有最小gR的态。
• 猜想不可约dyon态在所有Z₂×Z₂对称性保护的边界态中具有最低的中心电荷，意味着其为最稳定的能隙相。

提出的方法

• 通过左移Weyl费米子的手征荷Qαi和右移Weyl费米子的¯Qαi构造边界态，当∑i QαiQβi = ∑i ¯Qαi¯Qβi时，U(1)N对称性被保留。
• 增强的连续对称性由有理正交矩阵Rij = (¯Q⁻¹)iαQαj及其关联的荷格 Lattice Λ[R] = ZN ∩ R⁻¹ZN确定。
• Z₂×Z₂手征性费米子统计数对称性被保留当且仅当指标[ZN : ZN ∩ R⁻¹ZN] / [DN : DN ∩ R⁻¹DN]等于2，这发生在电荷向量p和q的范数与点积满足特定算术条件时。
• 分类基于代数数论和格点重合位点结构，Z₂×Z₂不变性的条件被简化为涉及|p|²、|q|²和p·q模4算术的三种情形。
• 采用修改的零矢量构造方法，通过强制第一U(1)对称性的Q1i为奇数、¯Q1i为偶数，生成所有Z₂×Z₂对称性保护的边界态。
• 中心电荷gR由矩阵R计算得出，其平方值(gR)²在不同N下被分析，以识别最小值和允许值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种手征荷Q和¯Q条件下，2N个Majorana费米子的边界态中Z₂×Z₂手征性费米子统计数对称性被保留？
• RQ2 此类边界态所保持的增强连续对称群的结构是什么？其如何由矩阵R = ¯Q⁻¹Q决定？
• RQ3 Z₂×Z₂对称性保护的边界态在哪些N值下存在？此类态的最小可能中心电荷gR是多少？
• RQ4 不同N值下，(gR)²的允许值如何变化？Z₂×Z₂对称性保护的边界态的中心电荷谱是什么？
• RQ5 不可约dyon态是否为所有Z₂×Z₂对称性保护的边界态中中心电荷最低的态？

主要发现

• Z₂×Z₂手征性费米子统计数对称性被保留当且仅当指标[ZN : ZN ∩ R⁻¹ZN] / [DN : DN ∩ R⁻¹DN]等于2，这恰好发生在电荷向量满足其范数与点积模4的特定条件时。
• 增强的连续对称性由有理正交矩阵R = ¯Q⁻¹Q及其关联的荷格 Lattice Λ[R] = ZN ∩ R⁻¹ZN决定，该格点捕捉了左右移动费米子荷之间的差异。
• 当N = 4时，最小中心电荷满足(gR)² = 2，由dyon4态实现，该态对应于Maldacena和Ludwig首次构造的SO(8)边界态。
• 当N = 4k时，最小的(gR)²为N/2，由不可约dyon态R = dyon4k实现，该态被猜想为所有Z₂×Z₂对称性保护边界态中中心电荷最低者。
• 对于Z₂×Z₂对称性保护态，(gR)²的允许值为：当N ≡ 0 mod 8时，(gR)² = N/2 + 4r；当N ≡ 4 mod 8时，(gR)² = N/2 + 2r，其重数由OEIS序列A031360给出。
• 所有(gR)²值的谱为无限且非零，所有形如2 + 4k的值均可实现，确认dyon4态是无限多组此类边界态中最简单的示例。