[论文解读] Which Random Matching Markets Exhibit a Stark Effect of Competition

Yash Kanoria, Seungki Min+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Game Theory and Voting Systems参考文献 32被引用 2

一句话总结

本文将随机匹配市场模型推广至部分连接的网络，其中参与者仅对其图邻居进行排序。研究发现，'竞争的强烈效应'——即短边参与者显著优于长边参与者——仅在平均度 d 超过 log²n 时才会出现；当 d = o(log²n) 时，双方平均获得 √d 排名的匹配对象，解释了为何现实市场中通常缺乏显著的竞争效应。

ABSTRACT

We revisit the popular random matching market model introduced by Knuth (1976) and Pittel (1989), and shown by Ashlagi, Kanoria and Leshno (2013) to exhibit a "stark effect of competition", i.e., with any difference in the number of agents on the two sides, the short side agents obtain substantially better outcomes. We generalize the model to allow "partially connected" markets with each agent having an average degree $d$ in a random (undirected) graph. Each agent has a (uniformly random) preference ranking over only their neighbors in the graph. We characterize stable matchings in large markets and find that the short side enjoys a significant advantage only for $d$ exceeding $\\log^2 n$ where $n$ is the number of agents on one side: For moderately connected markets with $d=o(\\log^2 n)$, we find that there is no stark effect of competition, with agents on both sides getting a $\\sqrt{d}$-ranked partner on average. Notably, this regime extends far beyond the connectivity threshold of $d= \\Theta(\\log n)$. In contrast, for densely connected markets with $d = \\omega(\\log^2 n)$, we find that the short side agents get $\\log n$-ranked partner on average, while the long side agents get a partner of (much larger) rank $d/\\log n$ on average. Numerical simulations of our model confirm and sharpen our theoretical predictions. Since preference list lengths in most real-world matching markets are much below $\\log^2 n$, our findings may help explain why available datasets do not exhibit a strong effect of competition.

研究动机与目标

• 理解在何种网络连通性条件下，'竞争的强烈效应'——即短边参与者获得显著更优匹配——会在随机匹配市场中出现。
• 通过引入平均度为 d 的随机图，将经典随机匹配市场模型推广至部分连通性。
• 在不同连通性水平下，刻画大规模市场中的稳定匹配，并识别竞争效应变得显著的临界点。
• 调和理论预测与经验观察之间的差异，即尽管存在失衡，现实中很少观察到强烈的竞争效应。

提出的方法

• 使用平均度为 d 的 Erdős–Rényi 随机图对随机匹配市场进行建模，其中每个参与者仅对其邻居进行排序。
• 假设对邻居的偏好排序为均匀随机，以保持模型的对称性。
• 利用概率与组合技术，在大市场极限（n → ∞）下分析稳定匹配。
• 在 d 相对于 n 的不同尺度下，推导双方平均匹配排名的渐近结果。
• 通过数值模拟验证并细化理论预测，特别是在过渡阈值附近的性能。
• 在三种连通性区间下进行比较：d = o(log²n)、d = Θ(log²n) 和 d = ω(log²n)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种网络连通性水平（平均度 d）下，随机匹配市场中会出现'竞争的强烈效应'？
• RQ2 在大规模市场中，短边与长边的平均匹配排名如何随 d 变化？
• RQ3 为何现实中的匹配市场（通常为稀疏连接）尽管存在失衡，却未能表现出强烈的竞争效应？
• RQ4 竞争效应的连通性阈值是否超过标准随机图连通性阈值 d = Θ(log n)？
• RQ5 当 d 低于、等于或高于 log²n 时，短边与长边的匹配排名分布有何差异？

主要发现

• 当 d = o(log²n) 时，短边与长边参与者平均获得约 √d 排名的匹配对象，表明无显著竞争效应。
• 当 d 超过 log²n（具体为 d = ω(log²n)）时，短边参与者平均获得 log n 排名的匹配对象，而长边参与者则获得 d/log n 排名的匹配对象，揭示出显著的不平等。
• 竞争强烈效应出现的临界阈值为 d = log²n，该值远高于标准连通性阈值 d = Θ(log n)。
• 数值模拟验证了理论预测，并精确刻画了 log²n 阈值附近的过渡行为。
• 研究结果有助于解释现实匹配市场中缺乏强烈竞争效应的原因，因为在这些市场中，偏好列表长度通常远小于 log²n。
• 该模型表明，现实网络中的稀疏性——在大学录取或工作匹配等市场中普遍存在——会抑制竞争的强烈效应。