[论文解读] Whittaker and Bessel functors for GSp_4

Sergey Lysenko|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文在几何朗道斯纲领中为辛群 GSp₄ 引入了 Whittaker 和 Bessel函子，推广了 Gaitsgory 对 GLₙ 的方法。它定义了几何 Waldspurger 族，并证明了 Waldspurger 模型的重数一结果，为研究 GSp₄-丛模堆栈上的超极大化层及其 Hecke 作用奠定了基础工具。

ABSTRACT

One of the important technical tools in Gaitsgory's proof of the Vanishing Conjecture appearing in the geometric Langlands correspondence ([3]) is the theory of Whittaker functors for GL_n. We define Whittaker functors for GSp_4 and study their properties. In a sense, these functors correspond to the maximal parabolic subgroup of GSp_4, whose unipotent radical is not commutative. We also study similar functors corresponding to the Siegel parabolic subgroup of GSp_4, they are related with Bessel models for GSp_4 and Waldspurger models for GL_2. We define the Waldspurger category, which is a geometric counterpart of the Waldspurger module over the Hecke algebra of GL_2. We prove a geometric version of the multiplicity one result for Waldspurger models.

研究动机与目标

• 将 Whittaker 函子理论从 GLₙ 推广至 GSp₄，该群在其极大抛物子群中具有非交换的 unipotent 平坦子群。
• 定义并研究与 GSp₄ 的 Siegel 抛物子群相关的 Bessel 函子，将其与 GL₂ 的 Waldspurger 模型联系起来。
• 将 Waldspurger 族引入为 GL₂ 的 Hecke 代数上 Waldspurger 模块的几何对应物。
• 建立类似于经典自守形式的几何重数一结果，适用于 Waldspurger 模型。
• 为理解 GSp₄ 几何朗道斯纲领中，超极大化与极大化层上的 Hecke 作用奠定基础。

提出的方法

• 通过使用具有非交换 unipotent 平坦子群的极大抛物子群，构造了 GSp₄ 的 Whittaker 函子，推广了 GLₙ 的情形。
• 将 Waldspurger 族定义为 GSp₄-丛堆栈上层的导出范畴中的全全三角子范畴。
• 在等变范畴中应用傅里叶变换技术，通过向量丛在概形上的作用，将不同群胚结构上的层联系起来。
• 在 ind-层的语境中应用 Casselman–Shalika 公式，以描述 Whittaker 泛函，同时考虑非局部有限性。
• 应用 Verdier 对偶与基变换，证明傅里叶变换函子是 t-正合的，并在字符反转意义下与对偶性交换。
• 通过分析 Whittaker 函子的核并将其与某些 unipotent 子群上积分的消失性联系起来，建立几何重数一结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Whittaker 函子从 GLₙ 推广至 GSp₄，特别是考虑到其极大抛物子群中 unipotent 平坦子群的非交换性？
• RQ2 GL₂ 的 Waldspurger 模块的几何对应物是什么？它与 GSp₄ 的 Bessel 模型有何关系？
• RQ3 Hecke 函子在 GSp₄-丛导出范畴的超极大化层子范畴上如何作用？
• RQ4 能否建立类似于经典自守形式的几何重数一结果，适用于 Waldspurger 模型？
• RQ5 在 GSp₄ 的几何朗道斯对应中，超极大化族的正交补起什么作用？

主要发现

• 本文将几何 Waldspurger 族定义为 GSp₄-丛堆栈上层的导出范畴中的全全三角子范畴，且该族在 Hecke 函子作用下保持不变。
• 证明了 Waldspurger 模型的几何重数一结果，表明在超极大化层上 Whittaker 泛函的空间是一维的。
• 超极大化族 D_hcusp(Bun_G) 被刻画为所有 Whittaker 函子核的交集，推广了经典超极大化自守形式的概念。
• 尽管 unipotent 平坦子群非交换，仍证明了 GSp₄ 的 Whittaker 函子在超极大化族上是单射的，类似于 GLₙ 的情形。
• Casselman–Shalika 公式被适配至几何设定，由于 ind-对象 K_E 在 Waldspurger 堆栈上不局部有限，导致出现非平凡分母。
• 建立傅里叶变换函子在 D(Y) 与 D^W(E^* ×_Z Y) 之间的等价关系，其拟逆由投影的推出给出，且该等价关系在字符反转意义下与 Verdier 对偶交换。