[论文解读] Why does bulk boundary correspondence fail in some non-hermitian topological models

Ye Xiong|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 10

一句话总结

本文表明，在某些非厄米拓扑模型中，由于在从周期性边界条件过渡到开放边界条件时遇到的本征点（EPs），体-边界对应关系会失效。当引入边界时，能谱的拓扑结构发生根本性改变，导致在体中定义的分数陈数无法预测零能边界态（ZEBS），这些边界态实际上源于边界处的本征点，而非拓扑保护。

ABSTRACT

Bulk boundary correspondence is crucial to topological insulator as it associates the boundary states (with zero energy, chiral or helical) to topological numbers defined in bulk. The application of this correspondence needs a prerequisite condition which is usually not mentioned explicitly: the boundaries themselves cannot alter the bulk states, so as to the topological numbers defined on them. In non-hermitian models with fractional winding number, we prove that such precondition fails and the bulk boundary correspondence is cut out. We show that, as eliminating the hopping between the boundaries to simulate the evolution of a system from the periodic boundary condition to the open boundary condition, exceptional points must be passed through and the topological structure of the spectrum has been changed. This makes the topological structures of a chain with open boundary totally different from that without the boundary. We also argue that such exotic behavior does not emerge when the open boundary is replaced by a domain-wall. So the index theorem can be applied to the systems with domain-walls but cannot be further used to those with open boundary.

研究动机与目标

• 研究非厄米拓扑系统中分数陈数下体-边界对应关系失效的原因。
• 明确本征点（EPs）在从周期性边界条件向开放边界条件过渡过程中改变拓扑结构的作用。
• 阐明在开放边界系统中，零能边界态（ZEBS）并非由拓扑保护，而是源于边界处的本征点。
• 证明用于域墙系统的指标定理无法推广至开放边界条件，因为EPs引起能谱变化。
• 提供一种正确分析开放边界非厄米链能谱的框架，强调必须对开放边界条件系统进行单独研究。

提出的方法

• 分析一个具有2×2若尔当代数块哈密顿量的1D非厄米模型玩具模型，以说明参数变化下EP的行为。
• 通过动量空间和实空间表示，区分两类EP：一类在参数空间（r₀, k）中，另一类在（r, φ）中，对应边界跃迁。
• 通过减小链两端之间的跃迁r来追踪引入边界时本征值谱的演化，通过本征值轨迹中环的分裂来显示拓扑变化。
• 应用Leykam等人（2017）提出的域墙系统指标定理，并表明其在开放边界条件下因哈密顿量在EP处变为缺陷矩阵而失效。
• 在EP附近采用双正交Gram-Schmidt过程，而非标准LAPACK例程（如zgeev）以稳定数值计算，因为LU分解在此处失效。
• 通过数值计算确认，即使体陈数仍无定义，当通过局域位能扰动移除EP时，ZEBS仍会消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在具有分数陈数的非厄米系统中，体-边界对应关系会失效？
• RQ2 本征点（EPs）如何影响从周期性边界条件向开放边界条件过渡过程中的谱拓扑？
• RQ3 在开放边界非厄米链中，零能边界态（ZEBS）是否由拓扑保护，还是由EPs引起？
• RQ4 为何用于域墙系统的指标定理不适用于非厄米模型中的开放边界条件？
• RQ5 当边界改变系统的拓扑结构时，体中定义的分数陈数能否预测边界态？

主要发现

• 从周期性边界条件向开放边界条件的转变迫使系统经过本征点（EPs），从根本上改变了能谱的拓扑结构。
• 谱拓扑从单个环变为多个环（例如分裂为更小的环），导致体陈数无法适用于开放边界情况。
• 开放边界系统中的零能边界态（ZEBS）并非由手征对称性或体陈数保护，而是源于边界或其附近存在的EPs。
• 数值证据表明，即使体陈数仍无定义，当通过局域位能扰动移除EP时，ZEBS也会消失。
• 用于域墙系统的指标定理在开放边界条件下失效，因为哈密顿量在EP处变为缺陷矩阵，破坏了H与H†H谱之间的一一对应关系。
• 标准数值例程如zgeev在EP附近失效；必须采用双正交Gram-Schmidt过程以实现在长链中稳定地计算能谱。