[论文解读] Wieferich Primes and a mod $p$ Leopoldt Conjecture

Gebhard Boeckle, David-A. Guiraud+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文提出了经典Leopoldt猜想的模 $p$ 版本，即是否对几乎所有素数 $p$ 都有 $H^2(G_{F,S_p \cup S_\infty}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = 0$，这将意味着来自相容系统模 $p$ 伽罗瓦表示的变形理论是无阻碍的。作者将该猜想与Wieferich素数联系起来，并为 $\mathbb{Q}$、虚二次域以及某些模形式提供了计算证据支持该猜想。

ABSTRACT

We consider questions in Galois cohomology which arise by considering mod $p$ Galois representations arising from automorphic forms. We consider a Galois cohomological analog for the standard heuristics about the distribution of Wieferich primes, i.e. prime $p$ such that $2^{p-1}$ is 1 mod $p^2$. Our analog relates to asking if in a compatible system of Galois representations, for almost all primes $p$, the residual mod $p$ representation arising from it has unobstructed deformation theory. This analog leads in particular to formulating a mod $p$ analog for almost all primes $p$ of the classical Leopoldt conjecture, which has been considered previously by G. Gras. Leopoldt conjectured that for a number field $F$, and a prime $p$, the $p$-adic regulator $R_{F,p}$ is non-zero. The mod $p$ analog is that for a fixed number field $F$, for almost all primes $p$, the $p$-adic regulator $R_{F,p}$ is a unit at $p$.

研究动机与目标

• 提出模 $p$ 版本的经典Leopoldt猜想，预测对几乎所有素数 $p$ 都有 $H^2(G_{F,S_p \cup S_\infty}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = 0$。
• 探讨该猜想与Wieferich素数分布之间的联系，以伽罗瓦上同调为框架。
• 研究来自相容系统的模 $p$ 伽罗瓦表示的变形理论是否对几乎所有 $p$ 都是无阻碍的，特别是在模形式和Artin表示的背景下。
• 为特定情形（包括权为2的模形式和 $S_3$-表示）提供支持该猜想的计算证据。
• 改进关于模 $p$ 上同调中提升水平和Selmer群维数的启发式方法，特别是针对模形式的 $p$-进提升。

提出的方法

• 使用伽罗瓦上同调分析模 $p$ 伽罗瓦表示变形的障碍，重点关注 $H^2(G_{F,S_p \cup S_∞}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ 作为全局障碍的度量。
• 应用变形理论和维数猜想（Mazur）研究来自模形式的相容系统伽罗瓦表示。
• 采用计算方法研究模形式 $S_2(\Gamma_0(Nq))$ 的 $q$-新子空间及其在 $q \neq p$ 处的Selmer群，特别针对 $p=3,5,7,11$。
• 通过区分基于 $q \mod p$ 和 $\overline{\rho}(\operatorname{Frob}_q)$ 上Frobenius作用的各类情况，分析在 $q \neq p$ 处的提升水平现象。
• 使用全局Euler-Poincaré示性数公式，将上同调消失与最大阿贝尔 $p$-进扩张（在 $p$ 外无分歧）的伽罗瓦群秩联系起来。
• 应用类域论和模形式的结果，计算 $q$-新子空间的维数，并与改进的启发式预测（如Ramakrishna对 $\dim S_2^{q\textrm{-new}}$ 的预测）进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 对几乎所有素数 $p$，是否都有 $H^2(G_{F,S_p \cup S_\infty}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = 0$，从而构成Leopoldt猜想的模 $p$ 版本？
• RQ2 Wieferich素数的分布如何与相容系统中模 $p$ 伽罗瓦表示的无阻碍变形相关联？
• RQ3 对于 $q \neq p$ 的素数 $q$，$S_2(\Gamma_0(Nq))$ 中的 $q$-新子空间的期望维数是多少，其与理论预测的吻合程度如何？
• RQ4 在哪些情况下，$q \neq p$ 处的提升水平会导致一维 $q$-新Selmer群，且这种情形发生的频率如何？
• RQ5 改进的启发式方法（如Ramakrishna的）能否预测 $\dim S_2^{q\textrm{-new}} = i$（$i \geq 1$）的频率？

主要发现

• 对于 $F = \mathbb{Q}$，对所有 $p > 2$ 都有 $H^2(G_{\mathbb{Q},S_p \cup S_\infty}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = 0$，且 $p=2$ 时 $\dim H^1 = 1$，支持模 $p$ Leopoldt猜想。
• 对于虚二次域，该猜想成立，原因在于不存在无限阶单位根，而这些单位根已知会阻碍经典Leopoldt猜想。
• 在 $p=3$ 的计算数据中，$\dim S_2^{q\textrm{-new}}$ 的分布与Ramakrishna的预测密度高度吻合：维度1为0.66，维度2为0.22，更高维数则递减。
• 对于 $p=3$，共有56个素数 $q$ 属于情形iii（其中 $\dim S_2^{q\textrm{-new}} \geq 4$），且下界4被最频繁地达到，表明高维 $q$-新子空间存在非平凡分布。
• 情形iv（其中 $\dim S_2^{q\textrm{-new}} \geq 4$ 且 $q \equiv -1 \pmod{p}$）极为罕见：在计算范围内对 $p=11$ 未发现此类 $q$，最小候选 $q = 109297$，表明存在强烈抑制。
• 对于 $S_3$-表示，当 $q \equiv -1 \pmod{p}$ 且Frobenius满足某些局部条件时，$q$-新Selmer群为一维，且在启发式下预期其出现密度为 $1/p$，与数据一致。