[论文解读] Wilson's Theorem Modulo \(p^2\) Derived from Faulhaber Polynomials

Claire Levaillant|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2019

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一句话总结

本文利用Faulhaber多项式和Faulhaber系数的最新结果，通过p进数方法，为模$p^2$的威尔逊定理的Glaisher公式提供了全新的p进证明。该方法简化了孙在2000年对$(p-1)! \mod p^3$的证明结果，可推广至更高阶的$p$幂次，显式计算了斯特林数$\left[\begin{array}{l}p\\ s\end{array}\right] \mod p^3$，并推导出关于除法伯努利数卷积的新同余式。

ABSTRACT

First, we present a new proof of Glaisher's formula dating from 1900 and concerning Wilson's theorem modulo p^2. Our proof uses p-adic numbers and Faulhaber's formula for the sums of powers (17th century), as well as more recent results on Faulhaber's coefficients obtained by Gessel and Viennot. Second, by using our method, we find a simpler proof than Sun's proof regarding a formula for (p-1)! modulo p^3, and one that can be generalized to higher powers of p. Third, we can derive from our method a way to compute the Stirling numbers modulo p^3, thus improving Glaisher and Sun's own results from 120 years ago and 20 years ago respectively. Last, our method allows to find new congruences on convolution of divided Bernoulli numbers and convolutions of divided Bernoulli numbers with Bernoulli numbers.

研究动机与目标

• 通过Faulhaber多项式和p进分析，为Glaisher于1900年提出的$(p-1)! \mod p^2$公式提供一种全新的p进证明。
• 使用相同方法简化孙于2000年对$(p-1)! \mod p^3$的证明，使该方法可推广至更高阶的$p$幂次。
• 为第一类斯特林数$\left[\begin{array}{l}p\\ s\end{array}\right] \mod p^3$推导显式公式，改进Glaisher和孙早期的结果。
• 建立关于除法伯努利数卷积以及除法伯努利数与伯努利数卷积的新同余式。

提出的方法

• 利用Faulhaber公式表示幂和，其形式为关于$n$的多项式，系数与伯努利数相关。
• 应用p进数论分析$(p-1)!$模$p^k$（$k=2,3,\dots$）的结构，利用p进展开。
• 运用Gessel与Viennot关于Faulhaber系数的最新结果，将幂和与根的对称函数联系起来。
• 利用牛顿恒等式将幂和与初等对称和联系起来，后者对应于第一类斯特林数。
• 通过$\mathbb{F}_p[X]$中$X^{p-1} - 1$的因式分解与$\mathbb{Z}_p[X]$中$X^{p-1} + (p-1)!$的类比，推导同余式。
• 推导多重调和和及其$q$-模拟的同余式，将其与行列式及模$[p]_q^k$的二项式系数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用p进方法和Faulhaber多项式重新推导Glaisher关于$(p-1)! \mod p^2$的公式？
• RQ2 是否存在一种更简洁且可推广的证明方法，用于孙关于$(p-1)! \mod p^3$的公式？
• RQ3 该方法能否被扩展以显式计算$\left[\begin{array}{l}p\\ s\end{array}\right] \mod p^3$？
• RQ4 使用该方法时，关于除法伯努利数卷积会涌现出哪些新同余式？
• RQ5 这些结果与已知的二项式与调和和$q$-模拟同余式有何关联？

主要发现

• 利用Faulhaber多项式和p进分析，建立了Glaisher关于$(p-1)! \mod p^2$公式的全新p进证明。
• 该方法得出的$(p-1)! \mod p^3$的证明比孙原始证明更简洁，且可自然推广至更高阶的$p$幂次。
• 本文推导出第一类斯特林数$\left[\begin{array}{l}p\\ s\end{array}\right] \mod p^3$的显式公式，优于Glaisher和孙早期的界限结果。
• 发现了关于除法伯努利数卷积以及除法伯努利数与伯努利数卷积的新同余式。
• 该方法与调和和及二项式同余式的$q$-模拟相联系，拓展了Dilcher、Straub等人已有的结果。
• 该方法为研究Faulhaber系数的p进性质及其算术意义提供了系统性框架。