[论文解读] Witt groups of sheaves on topological spaces

Jonathan Woolf|ArXiv.org|Oct 10, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文证明了在多面体上具有上同调构造性层的Witt群构成一个广义同调理论，当系数环为2可逆的正则诺特环时，这些群与Ranicki的自由对称L-群同构。对于有理系数，这些群被证明同构于PL Witt空间 bordism 群的4-周期性列极限，从而可将奇异空间的L-类解释为从构造性Witt同调到有理同调的稳定同调操作。

ABSTRACT

This paper investigates the Witt groups of triangulated categories of sheaves (of modules over a ring R in which 2 is invertible) equipped with Poincare-Verdier duality. We consider two main cases, that of perfect complexes of sheaves on locally compact Hausdorff spaces and that of cohomologically constructible complexes of sheaves on polyhedra. We show that the Witt groups of the latter form a generalised homology theory for polyhedra and continuous maps. Under certain restrictions on the ring R, we identify the constructible Witt groups of a finite simplicial complex with Ranicki's free symmetric L-groups. Witt spaces are the natural class of spaces for which the rational intersection homology groups have Poincare duality. When the ring R is the rationals we show that every Witt space has a natural L-theory, or Witt, orientation and we identify the constructible Witt groups with the 4-periodic colimit of the bordism groups of Witt spaces. This allows us to interpret Goresky and Macpherson's L-classes of singular spaces as stable homology operations from the constructible Witt groups to rational homology.

研究动机与目标

• 使用构造性层的Witt群为多面体建立广义同调理论。
• 在适当的环条件下，将有限单纯复形的构造性Witt群与Ranicki的自由对称L-群相等同。
• 证明当系数为有理数时，构造性Witt群与PL Witt空间 bordism 群的4-周期性列极限一致。
• 将奇异空间的L-类解释为从构造性Witt同调到有理同调的稳定同调操作。
• 利用几何与代数拓扑技术，建立L-类在映射、乘积和悬垂下的自然性与稳定性。

提出的方法

• 在配备Poincaré–Verdier对偶性的拓扑空间上层的三角范畴中定义Witt群。
• 聚焦于局部紧致豪斯多夫空间上的紧致复形与多面体上上同调构造性复形。
• 使用Balmer在具有对偶性的三角范畴中构造Witt群的框架，要求系数环中2可逆。
• 证明构造性Witt群满足Eilenberg–Steenrod公理，因此构成广义同调理论。
• 应用Ranicki的对称L-理论与代数 bordism，将构造性Witt群与 $ H_*(K; bL^ullet(R)) $ 对于有限单纯复形 $ K $ 相等同。
• 利用L-理论的4-周期性及 $ bCbP^2 $ 的指标，证明L-类在与 $ bCbP^2 $ 乘积下保持稳定，从而可在Witt同调的列极限上定义总L-类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明多面体上构造性层的Witt群构成广义同调理论？
• RQ2 有限单纯复形的构造性Witt群与Ranicki的自由对称L-群之间有何关系？
• RQ3 具有有理系数的构造性Witt群与PL Witt空间的 bordism 群之间有何关系？
• RQ4 如何将奇异空间的L-类解释为从构造性Witt同调到有理同调的稳定同调操作？
• RQ5 在此背景下，L-类在映射、乘积与悬垂下的自然性与稳定性如何？

主要发现

• 当每个有限生成 $ R $-模都允许有限自由分解时，有限单纯复形 $ K $ 的构造性Witt群同构于Ranicki的自由对称L-群 $ H_*(K; bL^ullet(R)) $。
• 当 $ R = bQ $ 时，构造性Witt群同构于PL Witt空间 bordism 群的4-周期性列极限。
• 总L-类 $ \bigoplus_i \bL_i: \bOmega^{ st{Witt}}_*(X,A) \to H_*(X,A;\bbQ) $ 是一个自然变换，与映射、边界映射及乘积可交换。
• 由于L-类在乘以 $ \bbC\bbP^2 $ 下保持稳定（因 $ \bL_0(\bbC\bbP^2) = 1 $），因此可在Witt同调的列极限上定义总L-类。
• 构造性Witt群中的挠元在L-类下映射为零，原因是有理同调无挠。
• 奇异空间的L-类被实现为从构造性Witt同调到有理同调的稳定同调操作，为L-理论不变量提供了拓扑解释。