[论文解读] Hirzebruch classes and motivic Chern classes for singular spaces

Jean‐Paul Brasselet, Joerg Schuermann+1 more|ArXiv.org|Mar 23, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用 16

一句话总结

本文通过基于基空间上代数簇的格罗滕迪克群，利用混合霍赫德模的函子性构造，引入了奇异复代数空间的动机类陈类与赫兹布鲁赫类，统一了陈类、托德类与L类变换。关键贡献是构造了一个自然变换 $ T_{y*} $，其推广了经典特征类并与正规上推保持交换，通过奇点的解析与霍赫德理论给出了明确实现。

ABSTRACT

In this paper we study some new theories of characteristic homology classes for singular complex algebraic (or compactifiable analytic) spaces. We introduce a motivic Chern class transformation mC_{*}: K_{0}(var/X)-> G_{0}(X)[y], which generalizes the total λ-class of the cotangent bundle to singular spaces. Here K_{0}(var/X) is the relative Grothendieck group of complex algebraic varieties over X as introduced and studied by Looijenga and Bittner in relation to motivic integration, and G_{0}(X) is the Grothendieck group of coherent sheaves of O_{X}-modules. We define a natural transformation T_{y*}: K_{0}(var/X)-> H_{*}(X,Q)[y] commuting with proper pushdown, which generalizes the corresponding Hirzebruch characteristic. T_{y*} is a homology class version of the motivic measure corresponding to suitable specialization of the well known Hodge polynomial. This transformation unifies the Chern class transformation of MacPherson and Schwartz (for y=-1), the Todd class transformation of the singular Riemann-Roch theorem of Baum-Fulton-MacPherson (for y=0) and the L-class transformation of Cappell-Shaneson (for y=1). In the simplest case of a normal Gorenstein variety with ``canonical singularities'' we also explain a relation among the ``stringy version'' of our characteristic classses, the elliptic class of Borisov-Libgober and the stringy Chern classes of Aluffi and De Fernex-Lupercio-Nevins-Uribe. Moreover, all our results can be extended to varieties over a base field k of characteristic 0.

研究动机与目标

• 在奇异复代数空间的相对格罗滕迪克群 $ K_0(var/X) $ 上定义动机类陈类变换 $ mC_* $。
• 构造一个广义化陈类、托德类与L类变换的赫兹布鲁赫类变换 $ T_{y*} $，适用于奇异代数簇。
• 通过奇点解析与混合霍赫德模理论，建立函子性与正规上推的相容性。
• 通过霍赫德多项式的特化，将经典特征类（如麦克弗森、包姆-富尔顿-麦克弗森、卡佩尔-沙内森）统一于同一框架下。
• 将理论推广至特征零域上的代数簇，并与弦理论不变量及椭圆类建立联系。

提出的方法

• 通过奇点解析与杜波依斯混合霍赫德理论导出的爆破关系，定义 $ mC_*: K_0(var/X) \to G_0(X) \otimes \mathbb{Z}[y] $。
• 通过复合 $ T_{y*} = td_{(1+y)} \circ mC_* $ 构造 $ T_{y*}: K_0(var/X) \to H_*(X) \otimes \mathbb{Q}[y] $，其中 $ td_{(1+y)} $ 为广义托德类变换。
• 利用佐藤正男的代数混合霍赫德模理论，给出 $ mC_* $ 的函子性构造，确保其与正规上推的相容性。
• 建立图(1)的交换图，连接 $ mC_* $、$ T_{y*} $ 与广义托德类，表明 $ T_{y*} $ 在 $ y = -1, 0, 1 $ 处插值经典不变量。
• 将 $ gr_{-p}^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ 与杜波依斯复形上的霍赫德滤波联系起来，证明在 $ G_0(X) $ 中有 $ [gr_{-p}^F DR(\mathbb{Q}_X^H)] = [gr_p^F \underline{\Omega}^*_{X}] $。
• 利用佐藤的结果，计算得 $ gr_{-n}^F DR(\mathbb{Q}_X^H) \simeq \pi_* \Lambda^n T^*X'[-n] $，其中 $ \pi: X' \to X $ 为解析，且 $ gr_0^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ 对应于弱正规化层 $ \mathcal{O}_X^{wn} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将动机类陈类从光滑空间推广至奇异复代数空间？
• RQ2 能否构造一个统一的赫兹布鲁赫类变换 $ T_{y*} $，使其在奇异代数簇上插值陈类、托德类与L类变换？
• RQ3 混合霍赫德模在构造奇异空间的函子性特征类中起何作用？
• RQ4 新类与现有不变量（如博里索夫-利布戈伯的弦理论陈类与椭圆类）有何关系？
• RQ5 动机类陈类的霍赫德理论解释为何？即其与杜波依斯复形上霍赫德滤波的关系如何？

主要发现

• 变换 $ T_{y*} $ 由其在光滑空间上的归一化唯一确定：$ T_{y*}([id_X]) = T^*_y(TX) \cap [X] $，推广了赫兹布鲁赫的特征类。
• 动机类陈类 $ mC_* $ 满足：当 $ X $ 光滑时，$ mC_*([id_X]) = \lambda_y(T^*X) \cap [\mathcal{O}_X] $，将 $ \lambda $-类扩展至奇异空间。
• 变换 $ T_{y*} $ 与陈-施瓦茨-麦克弗森类（$ y = -1 $）、托德类（$ y = 0 $）及 $ L $-类（$ y = 1 $）构成交换图，统一了这些不变量。
• 对于有理同调流形 $ X $，猜想 $ T_{1*}(X) = L_*(X) $ 成立，且 $ L $-类通过周期映射位于楚瓦群的像中。
• 霍赫德滤波分量 $ gr_{-n}^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ 同构于 $ \pi_* \Lambda^n T^*X'[-n] $，其中 $ \pi: X' \to X $ 为解析，将类与解析的 canonical bundle 联系起来。
• 层 $ gr_0^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ 映射至弱正规化层 $ \mathcal{O}_X^{wn} $，且 $ X $ 具有杜波依斯奇点当且仅当 $ \mathcal{O}_X \to gr_0^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ 是拟同构。