[论文解读] Word Measures on Unitary Groups

Michael Magee, Doron Puder|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文建立了酉群上词测度与自由群中稳定交换子长度之间的深刻联系。通过分析在词映射下随机酉矩阵的期望迹，证明了 $\mathcal{Tr}_w(n) = O(n^{1-2g})$，其中 $g$ 是词 $w$ 的交换子长度，并表明极限 $\lim_{n\to\infty} n^{2g-1} \cdot \mathcal{Tr}_w(n)$ 是一个整数，用于计数自由群中 $[u_1,v_1]\cdots[u_g,v_g] = w$ 的解的等价类。这揭示了稳定交换子长度可通过酉谱测度被检测到。

ABSTRACT

We combine concepts from random matrix theory and free probability together with ideas from the theory of commutator length in groups and maps from surfaces, and establish new connections between the two. More particularly, we study measures induced by free words on the unitary groups $U(n)$. Every word $w$ in the free group $F_r$ on $r$ generators determines a word map from $U(n)^r$ to $U(n)$, defined by substitutions. The $w$-measure on $U(n)$ is defined as the pushforward via this word map of the Haar measure on $U(n)^r$. Let $Tr_w(n)$ denote the expected trace of a random unitary matrix sampled from $U(n)$ according to the $w$-measure. It was shown by Voiculescu [Voic 91'] that for $w e 1$ this expected trace is $o(n)$ asymptotically in $n$. We relate the numbers $Tr_w(n)$ to the theory of commutator length of words and obtain a much stronger statement: $Tr_w(n)=O(n^{1-2g})$, where $g$ is the commutator length of $w$. Moreover, we analyze the number $\lim_{n o\infty}n^{2g-1} \cdot Tr_w(n)$ and show it is an integer which, roughly, counts the number of (equivalence classes of) solutions to the equation $[u_1,v_1]...[u_g,v_g]=w$ with $u_i,v_i \in F_r$. Similar results are obtained for finite sets of words and their commutator length, and we deduce that one can 'hear' the stable commutator length of a word by 'listening' to its unitary measures.

研究动机与目标

• 理解词映射在 $\mathcal{U}(n)$ 上的期望迹 $\mathcal{Tr}_w(n)$ 的渐近行为。
• 将该迹与自由群 $\mathbf{F}_r$ 中词 $w$ 的代数不变量联系起来。
• 证明词 $w$ 的稳定交换子长度编码于其在 $\mathcal{U}(n)$ 上的词测度的渐近谱性质之中。
• 通过 Weingarten 计算和从匹配构造曲面的方法，建立随机矩阵理论与几何群论之间的精确数量联系。

提出的方法

• 使用 Weingarten 计算法计算 $\mathcal{U}(n)$ 上迹的积分，将 $\mathcal{Tr}_w(n)$ 表示为 $n$ 的有理函数。
• 从与词 $w$ 相关的配对对构造曲面，将这些曲面的拓扑与迹的渐近行为联系起来。
• 应用偏序集与同伦理论技术（例如弧偏序集中分量的可缩性）分析曲面构造的结构。
• 依赖于稳定交换子长度理论及其通过带边曲面的几何实现。
• 利用期望迹 $\mathcal{Tr}_w(n)$ 是哈尔测度在词映射 $w: \mathcal{U}(n)^r \to \mathcal{U}(n)$ 下的拉回这一事实。
• 分析极限 $\lim_{n\to\infty} n^{2g-1} \cdot \mathcal{Tr}_w(n)$，并证明其为一个整数，用于计数自由群 $\mathbf{F}_r$ 中 $[u_1,v_1]\cdots[u_g,v_g] = w$ 的等价类解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \to \infty$ 时，词映射在 $\mathcal{U}(n)$ 上的期望迹 $\mathcal{Tr}_w(n)$ 如何衰减？
• RQ2 能否从其酉词测度的渐近行为中恢复自由群中词 $w \in \mathbf{F}_r$ 的稳定交换子长度？
• RQ3 极限 $\lim_{n\to\infty} n^{2g-1} \cdot \mathcal{Tr}_w(n)$ 的拓扑或组合意义是什么？
• RQ4 配对与曲面粘合的组合学如何与 $\mathcal{U}(n)$ 上词积分的结构相关联？
• RQ5 是否存在 $[u_1,v_1]\cdots[u_g,v_g] = w$ 的解的数量与 $\mathcal{Tr}_w(n)$ 的主阶系数之间的精确对应关系？

主要发现

• 期望迹满足 $\mathcal{Tr}_w(n) = O(n^{1-2g})$，其中 $g$ 是 $w$ 的稳定交换子长度。
• 极限 $\lim_{n\to\infty} n^{2g-1} \cdot \mathcal{Tr}_w(n)$ 是一个有限的正整数。
• 该极限计数了自由群 $\mathbf{F}_r$ 中方程 $[u_1,v_1]\cdots[u_g,v_g] = w$ 的等价类解的数量。
• 该结果通过酉随机矩阵理论为稳定交换子长度提供了谱表征。
• 该方法从词的组合学构造曲面，并利用拓扑不变量计算迹的渐近行为。
• 该框架可推广至有限词集及其联合交换子长度，表明可通过酉测度‘听’到稳定交换子长度。