[论文解读] Words and Transcendence

Michel Waldschmidt|ArXiv.org|Aug 27, 2009

semigroups and automata theory参考文献 42被引用 6

一句话总结

本文研究了是否可以通过其以 $g$ 为基的展开式来区分代数数与超越数，重点探讨了 Borel 的猜想：所有无理代数数在每个 $g \geq 2$ 的基下都是正规的。尽管借助 Schmidt 的子空间定理和丢番图逼近等工具取得了重大理论进展，但至今尚未发现任何明确的代数数例子，其以 $g \geq 3$ 为基的展开式中某个数字无限次出现，这凸显了猜想与证明之间的重大鸿沟。

ABSTRACT

Is it possible to distinguish algebraic from transcendental real numbers by considering the $b$-ary expansion in some base $b\ge2$? In 1950, É. Borel suggested that the answer is no and that for any real irrational algebraic number $x$ and for any base $g\ge2$, the $g$-ary expansion of $x$ should satisfy some of the laws that are shared by almost all numbers. There is no explicitly known example of a triple $(g,a,x)$, where $g\ge3$ is an integer, $a$ a digit in $\{0,...,g-1\}$ and $x$ a real irrational algebraic number, for which one can claim that the digit $a$ occurs infinitely often in the $g$-ary expansion of $x$. However, some progress has been made recently, thanks mainly to clever use of Schmidt's subspace theorem. We review some of these results.

研究动机与目标

• 研究对于 $g \geq 3$，无理代数数是否可通过其以 $g$ 为基的展开式与超越数相区分。
• 评估 Borel 于 1950 年提出的猜想：所有无理代数数在每个 $g \geq 2$ 的基下都是正规的。
• 识别当前在证明代数数中数字频率或出现模式方面的理论与计算局限性。
• 综述近期利用 Schmidt 的子空间定理与丢番图逼近技术在理解代数数 $g$-进制展开结构方面的进展。

提出的方法

• 利用 Borel 的正规数理论与勒贝格测度分析实数的 $g$-进制展开，以定义典型行为。
• 应用 Schmidt 的子空间定理，推导代数数中数字分布的约束条件。
• 使用丢番图逼近技术，包括同时逼近与 Mahler 的凸体，研究连分数展开与逼近指数。
• 研究 Sturmian 序列与自动序列，特别是 Fibonacci 词与 Thue-Morse 词，以构造或分析具有特定逼近性质的超越数。
• 回顾 Champernowne 与 Copeland-Erdős 等人构造的正规数，以与代数数进行对比。
• 评估 Roy、Bugeaud、Fischler 与 Adamczewski 在通过连分数与形态序列逼近数及其平方方面所得结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明对于任意 $g \geq 3$，给定数字 $a \in \{0, \dots, g-1\}$ 在任意无理代数数 $x$ 的以 $g$ 为基的展开式中无限次出现？
• RQ2 是否存在一个实代数数（次数 $\geq 3$）的连分数展开是由一个同态生成的？
• RQ3 所有代数数在其二进制展开中是否都包含任意长的回文或平方子串？
• RQ4 是否存在一个明确的实数 $x > 0$，它在基 $g$ 下是正规的，但 $1/x$ 在同一基下不是正规的？
• RQ5 对于任意非最终周期的二进制序列 $(e_n)$，是否至少有一个数 $\sum_{n \geq 1} e_n 2^{-n}$ 或 $\sum_{n \geq 1} e_n 3^{-n}$ 是超越数？

主要发现

• 尚未发现任何明确的三元组 $(g, a, x)$，其中 $g \geq 3$，$a \in \{0, \dots, g-1\}$，且 $x$ 为无理代数数，使得数字 $a$ 在 $x$ 的以 $g$ 为基的展开式中无限次出现。
• 对于任意 $g \geq 2$ 与 $k \geq 1$，存在实代数数，使得其以 $g$ 为基的展开式中每个长度为 $k$ 的数字序列均无限次出现，尽管这些构造与代数性之间的联系不够紧密。
• Mahler 证明：对任意无理实数 $\alpha$ 与任意 $k$-位数字序列，存在整数 $m \leq g^{2k+1}$，使得 $m\alpha$ 包含该序列无限次；此界后被 Berend 与 Boshernitzan 改进为 $2g^{k+1}$。
• Roy 于 2003 年的定理表明，由 Fibonacci 词导出的某些连分数可产生具有异常良好同时逼近性质的数，从而暗示其超越性。
• 对于互素的 $a, g > 1$，数 $\sum_{n \geq 0} a^{-n} g^{-a^n}$ 在基 $g$ 下是正规的，从而提供了正规数的显式构造。
• 自动数的倒数不一定是自动的，如文献 [45] 所示，这否定了文献 [15] 中提出的问题。