[论文解读] Wormholes in Quantum Mechanics

Herman Verlinde|arXiv (Cornell University)|May 5, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用 12

一句话总结

本文提出了一类1D量子系统中虫洞路径积分的几何形式化，表明$n$重虫洞划分函数等于热混合双倍（TMD）态的$n$-阶Rényi熵。该构造揭示了TMD态中存在三种类型的量子统计行为——经典关联、量子纠缠和经典无关——并再现了具有Virasoro对称性的2D CFT中AdS$_3$/CFT$_2$对偶性。

ABSTRACT

We introduce a geometric path integral definition of wormhole partition functions in a general class of 1D quantum systems obtained by quantizing a phase space. We compute the wormhole partition function in a semi-classical limit and in some simple examples. The partition function of the n-fold wormhole is found to be identical to the n-th Renyi entropy of a thermal mixed state of the doubled system. This mixed state incorporates three types of quantum statistical behavior: classically correlated, quantum entangled, and classically uncorrelated. We apply our prescription to 2D CFTs with Virasoro symmetry and recover the holographic dual formulation in terms of AdS3 gravity.

研究动机与目标

• 建立一类由相空间量子化导出的1D量子系统中虫洞划分函数的几何路径积分定义。
• 证明$n$重虫洞划分函数对应于双倍系统热混合态的$n$-阶Rényi熵。
• 在单一密度矩阵框架内统一三种类型的量子统计行为——经典关联、量子纠缠和经典无关。
• 将具有Virasoro对称性的2D CFT的全息对偶作为特例恢复，通过复制Ansatz再现AdS$_3$引力描述。
• 提供虫洞几何的非引力、量子力学实现，表明其并非仅限于引力系统。

提出的方法

• 通过在具有边界的2D曲面$\Sigma$上对场$X^a$进行路径积分来定义虫洞划分函数$Z(\Sigma)$，使用作用量$\int_\Sigma \Omega - \oint_{\partial\Sigma} H dt$，其中$\Omega$为闭但未必恰当的辛形式。
• 对具有$n$个边界分量（每个长度为$\beta$）的$n$重长号形几何$\Sigma_n$，使用鞍点近似进行半经典计算$Z(\Sigma_n)$。
• 对于精确计算，分析在群流形（如$G=SL(2,\mathbb{R})$）上的粒子，其辛形式闭但不恰当，从而在路径积分中实现非平凡拓扑。
• 假设热混合双倍（TMD）密度矩阵$\rho_{\rm TMD} = \sum_j p_j \rho_j^L \otimes \rho_j^R$，其中$\rho_j$为在第$j$个扇区退简并态上的最大混合态，以模拟热混合态。
• 建立复制Ansatz：$\text{Tr}(\rho_{\rm TMD}^n) = Z(\Sigma_n)/Z(D)^n$，将TMD态的Rényi熵与虫洞划分函数联系起来。
• 通过将相空间映射到Chern-Simons理论，将该形式化应用于具有Virasoro对称性的2D CFT，利用爱因斯坦-希尔伯特作用量与Virasoro群作用之间的对应关系，恢复AdS$_3$引力对偶。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非引力量子系统中通过几何路径积分形式化定义虫洞几何？
• RQ2 如何将$n$重虫洞划分函数与双倍量子系统中Rényi熵等量子信息测度关联？
• RQ3 在热混合双倍态中，三种统计行为——经典关联、量子纠缠和经典无关——的物理意义是什么？
• RQ4 能否从纯粹的量子力学路径积分构造出发，不假设引力，推导出全息AdS$_3$/CFT$_2$对偶性？
• RQ5 当辛形式闭但不恰当，2D曲面$\Sigma$的拓扑在定义虫洞划分函数时起什么作用？

主要发现

• $n$重虫洞划分函数$Z(\Sigma_n)$精确等于热混合双倍（TMD）态的$n$-阶Rényi熵$\text{Tr}(\rho_{\rm TMD}^n)$，建立了几何与量子信息之间的直接对应关系。
• TMD态包含了三种不同的统计行为：通过热权重$p_j$实现的经典关联，通过$\rho_j^L \otimes \rho_j^R$结构实现的量子纠缠，以及由于各扇区中退简并、非纠缠态导致的经典无关。
• 对于具有Virasoro对称性的2D CFT，该形式化再现了AdS$_3$引力对偶，其中3D引力的Chern-Simons形式与几何相空间路径积分相匹配。
• 在2D CFT的背景下，TMD态的Rényi熵为$\text{Tr}(\rho_{\rm cft}^n) = \sum_j \frac{p_j^n}{N_j^{2n-2}}$，其中$N_j$为第$j$个扇区的简并度，互信息为$I_{LR} = S_p(\beta)$，即热熵。
• Rényi熵中与截断无关的普遍部分源于$\rho_j^L \otimes \rho_j^R$结构，而$N_j$相关项代表短程纠缠贡献。
• 该构造表明虫洞几何并非仅存在于量子引力中，而是在辛形式不恰当的普通量子系统中自然涌现，为全息特征提供了新的量子力学起源。