[论文解读] Yamamoto's interpolation of finite multiple zeta and zeta-star values

Hideki Murahara, Masataka Ono|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2019

Advanced Mathematical Identities参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文通过参数 $ t $ 引入有限多重 zeta 值与 zeta-star 值的多项式插值，将 Yamamoto 的插值多重 zeta 值推广至有限型设定。它建立了关键代数关系——循环和公式、Bowman–Bradley 型公式、加权和公式、调和、shuffle、对偶及导数关系，并证明这些关系在 $ \mathcal{A} $ 与 $ \mathcal{S} $ 型有限多重 zeta 值中均成立。

ABSTRACT

We study a polynomial interpolation of finite multiple zeta and zeta-star values with variable $t$, which is an analogue of interpolated multiple zeta values introduced by Yamamoto. We introduce several relations among them and, in particular, prove the cyclic sum formula, the Bowman-Bradley type formula, and the weighted sum formula. The harmonic relation, the shuffle relation, the duality relation, and the derivation relation are also presented.

研究动机与目标

• 通过 $ t $-多项式插值 $ \mathcal{A} $ 与 $ \mathcal{S} $-有限多重 zeta 值及 zeta-star 值，将 Yamamoto 的插值多重 zeta 值推广至有限型设定。
• 在插值有限 zeta 值框架内建立代数关系——循环和、加权和及 Bowman–Bradley 型公式。
• 将经典关系如调和、shuffle、对偶与导数关系推广至 $ t $-插值有限 zeta 值设定。
• 证明有限 zeta 值的对偶与导数关系在 $ t $-插值下保持不变，将已知结果扩展至多项式设定。

提出的方法

• 定义 $ \zeta^{t}_{\mathcal{F}}(k_1,\dots,k_r) = \sum_{\mathbf{p}} \zeta_{\mathcal{F}}(\mathbf{p}) t^{r - \operatorname{dep}(\mathbf{p})} $，其中 $ \mathbf{p} $ 遍历在 $ k_1,\dots,k_r $ 之间插入逗号或加号形成的全部指标，该定义在 $ t=0 $ 和 $ t=1 $ 时分别推广至 $ \zeta $ 与 $ \zeta^\star $。
• 使用取值于 $ \mathcal{F} $ 的 $ t $-插值映射 $ Z^t_{\mathcal{F}} = Z_{\mathcal{F}} \circ S_t $，其中 $ S_t $ 是非交换多项式上的移位算子。
• 通过 $ S_t $-扭曲导数结构，证明循环和公式：对满足 $ k_r \geq 2 $ 的指标 $ \mathbf{k} $，有 $ \sum_{i=1}^r \zeta^t_{\mathcal{F}}(\sigma^i(\mathbf{k})) = 0 $。
• 通过恒等式 $ \phi^t = -S_{-t} \circ \phi \circ S_t $ 建立对偶关系，表明 $ \phi^t $ 在 $ t $-形变下保持对偶性。
• 通过 $ \widetilde{S}_t $-导数结构及已知的 $ Z_{\mathcal{F}} $-导数关系，证明导数关系：对所有 $ w \in y\mathfrak{H}_t x $，有 $ Z^t_{\mathcal{F}}(R^{-1}_x \partial^t_l(w)) = 0 $。
• 通过在 $ l=1 $ 处应用导数关系，推导出 $ t $-FMZVs 的 Hoffman 关系，得到一个包含指标移位与连接的 $ t $-依赖恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Yamamoto 对多重 zeta 值的插值能否通过 $ \mathcal{A} $ 与 $ \mathcal{S} $-有限多重 zeta 值扩展至有限型设定？
• RQ2 经典代数关系——循环和、加权和及 Bowman–Bradley 型公式——是否对 $ t $-插值有限 zeta 值成立？
• RQ3 对偶关系在 $ \mathcal{A} $ 与 $ \mathcal{S} $-有限 zeta 值的 $ t $-插值下是否保持不变？
• RQ4 有限 zeta 值的导数关系能否推广至 $ t $-插值设定？其形式如何？
• RQ5 Hoffman 对多重 zeta 值的关系能否扩展至 $ t $-插值有限 zeta 值框架？

主要发现

• $ t $-插值有限多重 zeta 值满足循环和公式：对任意满足 $ k_r \geq 2 $ 的指标 $ \mathbf{k} $，有 $ \sum_{i=1}^r \zeta^t_{\mathcal{F}}(\sigma^i(\mathbf{k})) = 0 $。
• 加权和公式被推广至 $ t $-插值设定，保持了对指标置换的加权和结构。
• 通过恒等式 $ \phi^t = -S_{-t} \circ \phi \circ S_t $，将 $ \mathcal{F} $-有限 zeta 值的对偶关系扩展至 $ t $-插值情形，该恒等式表明 $ \phi^t $ 保持对偶性。
• 建立了 $ t $-插值有限 zeta 值的导数关系：对所有 $ w \in y\mathfrak{H}_t x $，有 $ Z^t_{\mathcal{F}}(R^{-1}_x \partial^t_l(w)) = 0 $，该结果推广了经典导数关系。
• Hoffman 关系被推广至 $ t $-插值有限 zeta 值，得到一个包含指标移位与连接的 $ t $-依赖恒等式：$ \sum_{i=1}^r (1 + (k_i + \delta_{i,1} - 2)t) \zeta^t_{\mathcal{F}}(\dots,k_i+1,\dots) = \sum_{i,j} \zeta^t_{\mathcal{F}}(\dots,k_i+1-j,j,\dots) + t(1-t)\sum \zeta^t_{\mathcal{F}}(\dots,k_i+k_{i+1}+1,\dots) $。
• $ t $-插值 $ \mathcal{A} $ 与 $ \mathcal{S} $-有限 zeta 值满足调和、shuffle 与导数关系，其中导数关系通过 $ \widetilde{S}_t $-扭曲导数结构及已知的 $ Z_{\mathcal{F}} $-导数结果得以证明。