[论文解读] Yet another construction of the central extension of the loop group

Michael K. Murray, Daniel Stevenson|ArXiv.org|Jan 31, 2001

Advanced Topics in Algebra被引用 8

一句话总结

本论文通过在 G 上定义一个闭的、2πi-整值的二形式 R 和在 G×G 上定义一个满足 δ(R) = dα 与 δ(α) = 0 的一形式 α，对由 ℂ× 构成的李群的中心扩张给出了微分几何的刻画。该研究通过一个带有联络的主 ℂ×-丛显式构造了环路群 L(K) 的中心扩张，表明标准的弦扩张正是由此数据导出，从而为环路群的中心扩张提供了新的几何实现。

ABSTRACT

We give a characterisation of central extensions of a Lie group G by the non-zero complex numbers in terms of a differential two-form on G and a differential one-form on GxG. This is applied to the case of the central extension of the loop group.

研究动机与目标

• 以 G 和 G×G 上的微分形式来提供对由 ℂ× 构成的李群中心扩张的新刻画。
• 将此刻画应用于环路群 L(K)，这是共形场论与弦论中的核心对象。
• 通过一个带有联络的主 ℂ×-丛与曲率形式 R，显式构造 L(K) 的中心扩张。
• 证明标准的弦扩张正是由此构造产生，与已知结果一致。

提出的方法

• 定义从带有联络的中心扩张的同构类到对 (α, R) 的映射，其中 R 是 G 上的闭的、2πi-整值的二形式，α 是 G×G 上的一形式，且满足 δ(R) = dα 与 δ(α) = 0。
• 利用曲率 R 构造一个主 ℂ×-丛 P → G 及其联络 μ，使得 R 是 μ 的曲率。
• 利用 π₁(G) = 0 的条件，确保存在 δ(P) → G×G 上的全局截面 s，满足 s*δ(μ) = α。
• 利用截面 s 构造一个乘法映射 M: P×P → P，其结合性在常数 w ∈ ℂ× 意义下成立，通过在单位元处取值证明该常数为 1。
• 证明当截面 s 以常数 z ∈ ℂ× 变换时，所得中心扩张仍同构，保持同构类不变。
• 通过验证 R 与 α 与由卡廷形式和环路导数给出的标准表达式一致，确认所构造的扩张与已知的 L(K) 的弦扩张匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 G 和 G×G 上的微分形式来刻画李群 G 由 ℂ× 构成的中心扩张？
• RQ2 G 上的二形式 R 与 G×G 上的一形式 α 需满足何种条件，才能确定一个中心扩张？
• RQ3 能否从这样的对 (R, α) 重构环路群 L(K) 的标准中心扩张？
• RQ4 该构造在联络与截面选择下是否保持同构类不变？
• RQ5 这种微分几何构造与环路群丛的弦类有何关系？

主要发现

• 李群 G 由 ℂ× 构成的中心扩张由一对 (R, α) 分类，其中 R 是 G 上的闭的、2πi-整值的二形式，α 是 G×G 上的一形式，且满足 δ(R) = dα 与 δ(α) = 0。
• L(K) 上的曲率形式 R 定义为 R(g)(gX, gY) = (1/(4π²)) ∫_{S¹} ⟨X, ∂θY⟩ dθ，其中 𝔟 上使用了归一化的卡廷形式。
• L(K)×L(K) 上的一形式 α 定义为 α(g₁,g₂)(g₁X₁, g₂X₂) = (1/(4π²)) ∫_{S¹} ⟨X₁, (∂θg₂) ∂θg₂⁻¹⟩ dθ。
• 该构造在丛的全空间上产生一个结合性在中心标量意义下成立的乘法，且该标量被证明为 1。
• 所得的中心扩张同构于环路群 L(K) 的标准弦扩张，与文献中已知结果一致。
• 该方法通过微分形式与联络，为环路群丛的弦类提供了几何实现，推广了早期的构造。