[论文解读] Yet More Smooth Mapping Spaces and Their Smoothly Local Properties

Andrew Stacey|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文引入了“平滑局部性质”的概念，以推广映射空间上光滑流形结构的构造。通过确保局部结构（如坐标图或局部加法）在目标空间上平滑变化，作者建立了当 $M$ 为有限维流形且 $S$ 为满足温和解析条件的弗罗利赫空间时，映射空间 $C^\infty(S, M)$ 继承光滑流形结构的条件。关键结果表明，此类映射空间在局部上以它们的运动学切空间为模型构成光滑流形，且当原映射为正则时，诱导的映射空间之间的映射也是正则的。

ABSTRACT

Motivated by the definition of the smooth manifold structure on a suitable mapping space, we consider the general problem of how to transfer local properties from a smooth space to an associated mapping space. This leads to the notion of smoothly local properties. In realising the definition of a local property at a particular point it may be that there are choices that need to be made. To say that the local property is smoothly local is to say that those choices can be made smoothly dependent on the point. In particular, that a manifold has charts is a local property. A local addition is the structure needed to say that there is a way to choose a chart about each point so that it varies smoothly with that point. To be able to extend these ideas beyond that of the local additivity of manifolds we work in a category of generalised smooth spaces. We are thus are able to consider more general mapping spaces than just those arising from the maps from one smooth manifold to another and thus able to generalise the standard result on when this space of maps is again a smooth manifold. As applications of this generalisation we show that the mapping spaces involving the various figure 8s from String Topology are manifolds, and that they embed as submanifolds with tubular neighbourhoods in the corresponding loop spaces. We also show that applying the mapping space functor to a regular map of manifolds produces a regular map on the mapping spaces.

研究动机与目标

• 将光滑流形结构在映射空间上的构造推广至经典有限维流形之外的范畴。
• 形式化空间 $X$ 上局部结构可随 $X$ 平滑变化的观念，引入“平滑局部性质”的概念。
• 将标准结果推广：当 $M$ 和 $N$ 均为有限维流形且 $N$ 紧致时，$C^\infty(N,M)$ 为光滑流形。
• 证明涉及弦拓扑中图 8 图形的映射空间在环路空间中具有光滑流形结构及管状邻域。
• 证明映射空间函子保持流形间光滑映射的正则性。

提出的方法

• 将‘平滑局部性质’定义为可在空间 $X$ 上以光滑参数化方式选取的局部结构，推广局部加法的概念。
• 在广义光滑空间类别（特别是弗罗利赫空间）中工作，以扩大对流形之外对象的适用性。
• 利用函数拓扑与费马空间定义并分析映射空间上的切结构。
• 在适当条件下，建立运动学切空间 $T C^\infty(S,X)$ 与 $C^\infty(S, T X)$ 的自然同构。
• 证明若 $X$ 是平滑局部运动学的，则 $C^\infty(S,X)$ 也继承该性质，从而实现流形结构的构造。
• 将理论应用于证明：当 $M$ 为有限维流形且 $S$ 允许一个非零光滑函数，其支撑在 $(-1,1)$ 内时，$C^\infty(S,M)$ 为光滑流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，广义光滑空间 $X$ 上的局部性质可平滑地延拓至映射空间 $C^\infty(S,X)$？
• RQ2 当 $S$ 与 $M$ 为广义光滑空间时，光滑映射空间 $C^\infty(S,M)$ 何时自身为光滑流形？
• RQ3 如何将局部加法的概念推广至广义光滑空间类别中？
• RQ4 在何种条件下，映射空间 $C^\infty(S,X)$ 的切空间与 $C^\infty(S, T X)$ 自然同构？
• RQ5 映射空间函子是否保持流形间光滑映射的正则性？

主要发现

• 当 $M$ 为有限维光滑流形且 $S$ 为弗罗利赫空间，且 $S$ 允许一个非零光滑函数，其支撑在 $(-1,1)$ 内时，映射空间 $C^\infty(S,M)$ 为光滑流形，其流形结构在局部上以它的运动学切空间为模型。
• 当 $M$ 为有限维流形且 $S$ 为平滑 $\mathfrak{T}_{\text{Frob}}$-紧致时，空间 $C^\infty(S,M)$ 为平滑局部运动学的，确保了切结构的相容性。
• 当 $X$ 为平滑局部运动学空间时，切空间 $T C^\infty(S,X)$ 与 $C^\infty(S, T X)$ 自然同构，这对流形结构的构造至关重要。
• 当 $M$ 涉及弦拓扑中的图 8 图形时，映射空间 $C^\infty(S,M)$ 嵌入对应环路空间中，构成具有管状邻域的子流形。
• 若 $f: M \to N$ 为有限维流形间正则的光滑映射，则诱导映射 $C^\infty(S,f): C^\infty(S,M) \to C^\infty(S,N)$ 也是正则的。
• 通过局部加法构造 $C^\infty(N,M)$ 的坐标图的方法可推广至任意弗罗利赫空间 $S$，前提是目标 $M$ 具有平滑局部结构。