[论文解读] Yetter-Drinfeld modules for Turaev crossed structures

Marco Zunino|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文建立了Turaev交叉群余代数H的表示范畴中心、H上的Yetter-Drinfeld模范畴以及其量子双代数D(H)的表示范畴之间的范畴等价，表明它们在有 braided crossed categories 结构下同构。该构造将Joyal-Street的中心与Kassel-Turaev的量子双代数推广至Turaev交叉设定，通过基于T-范畴与T-余代数的统一范畴框架，将braiding、ribbon与模性结构推广至非平凡的群分次框架。

ABSTRACT

We provide an analog of the Joyal-Street center construction and of the Kassel-Turaev categorical quantum double in the context of the crossed categories introduced by Turaev. Then, we focus or attention to the case of categories of representation. In particular, we introduce the notion of a Yetter-Drinfeld module over a crossed group coalgebra H and we prove that both the category of Yetter-Drinfeld modules over H and the center of the category of representations of H as well as the category of representations of the quantum double of H are isomorphic as braided crossed categories.

研究动机与目标

• 将Joyal-Street的中心构造与Kassel-Turaev的量子双代数推广至Turaev的交叉范畴（T-范畴）与T-余代数的语境。
• 在T-范畴设定下建立braided与ribbon结构的范畴框架，将模性与对偶性等概念推广至群分次张量范畴。
• 定义并研究T-余代数H上的Yetter-Drinfeld模，将经典Hopf代数设定下的概念推广至交叉群余代数框架。
• 证明Rep(H)的中心、H上的Yetter-Drinfeld模范畴以及D(H)的表示范畴在braided T-范畴意义下同构。
• 将ribbon与模性结构扩展至T-范畴框架，表明其与量子双代数构造相容。

提出的方法

• 将T-范畴定义为Z-分次张量范畴，其每个分量上均存在群π的共轭作用，从而推广张量范畴。
• 通过满足与共轭作用相容性的自然同构的普遍性质，将T-范畴T的中心Z(T)构造为braided T-范畴。
• 引入扭扩张N(Z(T))Z，从braided T-范畴构造ribbon T-范畴，推广braided范畴的ribbon扩张。
• 将T-余代数H上的Yetter-Drinfeld模定义为Hα-模，配备一族满足广义相容性公理的共作用映射∆β: V → V ⊗ Hβ。
• 将T-余代数H的量子双代数D(H)构造为带有普遍R-矩阵的T-余代数，推广Drinfeld双代数至交叉设定。
• 通过显式函子及张量、braiding与单位相容性的验证，证明Z(Rep(H)) ≅ YD(H) ≅ Rep(D(H))作为braided T-范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有群分次结构的Turaev交叉范畴（T-范畴）设定下，Joyal-Street中心构造的适当推广是什么？
• RQ2 量子双代数构造如何从Hopf代数推广至T-余代数？它继承了何种结构？
• RQ3 在T-范畴框架下，Rep(H)的中心、H上的Yetter-Drinfeld模范畴与D(H)的表示范畴之间存在何种范畴关系？
• RQ4 braiding、twist与对偶性结构如何推广至T-范畴？它们与中心及量子双代数构造如何相互作用？
• RQ5 能否在T-余代数导出的范畴上一致地定义ribbon与模性结构？它们与量子双代数的表示理论有何关联？

主要发现

• 有限型T-余代数H的表示范畴Rep(H)的中心，与H上的Yetter-Drinfeld模范畴作为braided T-范畴同构。
• H上的Yetter-Drinfeld模范畴与D(H)的表示范畴作为braided T-范畴同构。
• T-余代数H的量子双代数D(H)被构造为带有普遍R-矩阵的T-余代数，推广了Drinfeld双代数至交叉设定。
• 在表示范畴上定义了RT(H)的扭扩张的ribbon T-范畴结构，并证明其与Yetter-Drinfeld模范畴Rib(H)同构。
• Yetter-Drinfeld模范畴Rib(H)与有限维表示范畴Repf(RT(H))同构，从而在范畴上实现了ribbon结构的实现。
• 推论11.5确认，当H′为有限型T-代数时，Repf(RT(D(H′)))与D(Rep(H′))作为ribbon T-范畴同构，扩展了量子双代数与ribbon范畴之间的对偶性。