[论文解读] Z_3 symmetry-protected topological phases in the SU(3) AKLT model

Takahiro Morimoto, Hiroshi Ueda+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2014

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用 4

一句话总结

该论文通过来自 H²(Z₃×Z₃, U(1)) ≅ ℤ₃ 中非平凡上循环的 3×3 矩阵的矩阵乘积态（MPS），在一维 SU(3) 自旋系统中构建了 Z₃ 对称性保护的拓扑（SPT）相。它引入了一个包含双线性和双二次项的 SU(3) AKLT哈密顿量，在耦合比的范围内实现了非平凡的 Z₃ SPT 相，包括 SU(3) AKLT 点和双二次耦合趋于零的极限，该结果通过 iDMRG 和自旋序参数得到验证。

ABSTRACT

We study $\mathbb{Z}_3$ symmetry-protected topological (SPT) phases in one-dimensional spin systems with $Z_3 imes Z_3$ symmetry. We construct ground-state wave functions of the matrix product form for nontrivial $\mathbb{Z}_3$ phases and their parent Hamiltonian from a cocycle of the group cohomology $H^2(Z_3 imes Z_3,U(1))$. The Hamiltonian is an SU(3) version of the Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki (AKLT) model, consisting of bilinear and biquadratic terms of su(3) generators in the adjoint representation. A generalization to the SU($N$) case, the SU($N$) AKLT Hamiltonian, is also presented which realizes nontrivial $\mathbb{Z}_N$ SPT phases. We use the infinite-size variant of the density matrix renormalization group (iDMRG) method to determine the ground-state phase diagram of the SU(3) bilinear-biquadratic model as a function of the parameter $θ$ controlling the ratio of the bilinear and biquadratic coupling constants. The nontrivial $\mathbb{Z}_3$ SPT phase is found for a range of the parameter $θ$ including the point of vanishing biquadratic term ($θ=0$) as well as the SU(3) AKLT point [$θ=\arctan(2/9)$]. A continuous phase transition to the SU(3) dimer phase takes place at $θ\approx -0.027π$, with a central charge $c\approx3.2$. For SU(3) symmetric cases we define string order parameters for the $\mathbb{Z}_3$ SPT phases in a similar way to the conventional Haldane phase. We propose simple spin models that effectively realize the SU(3) and SU(4) AKLT models.

研究动机与目标

• 将 AKLT 构造推广到具有 Z_N×Z_N 对称性保护的更高秩 SU(N) 自旋链。
• 识别并表征一维 SU(3) 对称性自旋系统中的 Z₃ SPT 相。
• 使用群上同调方法，构造非平凡 Z₃ SPT 相的显式矩阵乘积态波函数及其母哈密顿量。
• 建立类似于 Haldane相的 Z₃ SPT 相的自旋序参数。
• 使用 iDMRG 确定 SU(3) 双线性-双二次模型的基态相图并识别相变点。

提出的方法

• 通过来自 H²(Z₃×Z₃, U(1)) ≅ ℤ₃ 中非平凡上循环的 3×3 矩阵，利用矩阵乘积态（MPS）构造 Z₃ SPT 波函数。
• 将 SU(3) AKLT 哈密顿量定义为 su(3) 伴随表示中的双线性-双二次模型，使用迹为零的生成元 t^a，归一化为 tr(t^a t^b) = (1/2)δ_ab。
• 使用无限尺寸密度矩阵重整化群（iDMRG）计算作为耦合比参数 θ 的函数的基态相图。
• 引入类似于 Haldane相的 Z₃ SPT 相的自旋序参数，通过非局域变换检测隐藏序。
• 推导转移矩阵 M = ∑_m A^m ⊗ (A^m)*，并证明其本征值包含 1/N² 和 (N²−1)/N²（当 N=3 时），从而确认拓扑序。
• 将构造推广至 SU(N) AKLT 模型，通过相同的 MPS 和哈密顿量框架，证明对任意 N 均存在非平凡的 Z_N SPT 相。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一维 SU(3) 自旋链中实现具有 Z₃×Z₃ 对称性的 Z₃ 对称性保护拓扑相？
• RQ2 如何利用 3×3 矩阵的矩阵乘积态，结合群上同调保护，构造非平凡的 Z₃ SPT 相？
• RQ3 SU(3) 双线性-双二次模型的基态相图如何随耦合比参数 θ 变化？
• RQ4 SU(3) AKLT 点和双二次耦合趋于零的极限是否均属于同一非平凡 Z₃ SPT 相？
• RQ5 能否定义自旋序参数以检测类似于 Haldane相的 SU(3) 链中的 Z₃ SPT 序？

主要发现

• 非平凡 Z₃ SPT 相在耦合参数 θ 的一个范围内被实现，包括 SU(3) AKLT 点（θ = arctan(2/9)）和双二次耦合趋于零的极限（θ = 0）。
• 在 θ ≈ −0.027π 处发生连续相变，进入 SU(3) 二聚相，中心电荷 c ≈ 3.2，表明具有临界行为。
• SU(3) AKLT 哈密顿量被构造为在伴随表示中的双线性-双二次模型，包含 su(3) 生成元在伴随表示中的项。
• 基态是由相邻位点之间夸克-反夸克 singlet 构成的价键固态，其虚 degrees of freedom 在 SU(3) 的基本表示和共轭表示下变换。
• 为 Z₃ SPT 相定义了自旋序参数，类似于 Haldane 相，作为隐藏对称性自发破缺的序参量。
• SU(N) AKLT 模型被推广，通过 H²(Z_N×Z_N, U(1)) ≅ ℤ_N 中的群上同调数据，实现了对任意 N 的非平凡 Z_N SPT 相。