[论文解读] Zelevinsky involution and l-adic cohomology of the Rapoport-Zink tower

Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文将法尔格斯关于 $\ell$-进上同调中泽列夫斯基对合的结果，从德林费尔德塔推广到 $\mathrm{GSp}(2n)$ 的拉波普特-津塔塔，引入了一种依赖于形式模型 $\mathcal{M}$ 的新上同调 $H^i_{\mathcal{C}_{\mathcal{M}}}(M_\infty)$，并建立了紧支集上同调的泽列夫斯基对偶与相对于 $\mathcal{C}_{\mathcal{M}}$ 的移位、对偶上同调群之间的同构，从而推广了几何实现局部兰兰德斯对应。

ABSTRACT

In this paper, we investigate how the Zelevinsky involution appears in the l-adic cohomology of the Rapoport-Zink tower. We generalize the result of Fargues on the Drinfeld tower to the Rapoport-Zink towers for symplectic similitude groups.

研究动机与目标

• 将法尔格斯关于 $\ell$-进上同调中泽列夫斯基对合的结果，从德林费尔德塔推广至 $\mathrm{GSp}(2n)$ 的拉波普特-津塔塔。
• 引入一种依赖于拉波普特-津塔空间形式模型 $\mathcal{M}$ 的新上同调理论 $H^i_{\mathcal{C}_{\mathcal{M}}}(M_\infty)$，以应对该设定下 $\mathcal{M}$ 的非代数几何性质。
• 建立紧支集上同调的泽列夫斯基对偶与相对于 $\mathcal{C}_{\mathcal{M}}$ 的移位、对偶上同调群之间的对偶同构，推广此情境下的庞加莱对偶性。
• 为理解 $J$ 的非极大紧表示对拉波普特-津塔塔上同调的贡献，特别是与伯恩斯坦分量及 $\ell$-进韦伊群表示的关系，提供一个框架。

提出的方法

• 引入一个新的上同调群 $H^i_{\mathcal{C}_{\mathcal{M}}}(M_\infty)$，定义为沿形式模型 $\mathcal{M}$ 方向的紧支集上同调，当 $\mathcal{M}$ 为 $p$-进形式概形时，该群退化为标准的紧支集上同调。
• 利用 $G \times J \times W_{\mathbb{Q}_p}$ 在 $H^i_c(M_\infty)$ 和 $H^i_{\mathcal{C}_{\mathcal{M}}}(M_\infty)$ 上的作用，将表示论结构与几何上同调联系起来。
• 应用在 $J$ 的光滑表示上定义的泽列夫斯基对合 $\operatorname{Zel}$（通过伯恩斯坦-泽列夫斯基理论），以关联对偶上同调群。
• 利用伯恩斯坦分解及以 $J$-表示的伯恩斯坦分量 $\mathfrak{s}$ 索引的上同调 $\mathfrak{s}$-分量，对上同调同构进行局部化。
• 利用 $G$ 的中心 $Z_G$ 的 Hecke 代数 $\mathcal{H}(Z_G)$ 定义 $G$-表示 $V$ 的 $\tau$-同态分量 $V_\tau$，从而以光滑 $\widetilde{K}$-表示的形式研究上同调。
• 利用 [IM10] 的结果比较 $H^i_c(M_\infty/p^{\mathbb{Z}})$ 与 $H^i_{\mathcal{C}_{\mathcal{M}}}(M_\infty/p^{\mathbb{Z}})$，这对证明主定理和推论 5.12 至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 泽列夫斯基对合在 $\mathrm{GSp}(2n)$ 的拉波普特-津塔塔 $\ell$-进上同调中如何体现，超越德林费尔德与卢宾-图雷特的情形？
• RQ2 当拉波普特-津塔空间 $\mathcal{M}$ 不是 $p$-进形式概形时，需要何种上同调理论来推广法尔格斯的对偶性结果？
• RQ3 以 $J$ 的伯恩斯坦分量索引的上同调 $\mathfrak{s}$-分量，在泽列夫斯基对合下如何变换？
• RQ4 拉波普特-津塔塔模 $p^{\mathbb{Z}}$ 的上同调与相对于 $\mathcal{C}_{\mathcal{M}}$-上同调的对偶上同调之间存在何种精确关系？
• RQ5 涉及泽列夫斯基对合的上同调对偶性是否可用于检测塔的上同调中非极大紧表示的存在？

主要发现

• 主要结果建立了 $J \times W_{\mathbb{Q}_p}$-表示之间的同构：$H^{2d + \iota(\mathfrak{s}) - i}_{\mathcal{C}_{\mathcal{M}}}(M_\infty)_{\tau^\vee, \mathfrak{s}^\vee}(d) \cong \operatorname{Zel}\bigl{(}H^i_c(M_\infty)_{\tau, \mathfrak{s}}^\vee\bigr{)}$，其中 $d = n(n+1)/2$，$\iota(\mathfrak{s})$ 是衡量伯恩斯坦分量 $\mathfrak{s}$ 深度的不变量。
• 当 $n=2$ 时，本文证明：若满足技术性假设 5.8，则 $\pi \otimes \rho \otimes \sigma$ 作为 $H^3_c(M_\infty / p^{\mathbb{Z}})$ 的子商出现，当且仅当 $\pi^\vee \otimes \operatorname{Zel}(\rho^\vee) \otimes \sigma^\vee(-3)$ 作为 $H^4_c(M_\infty / p^{\mathbb{Z}})$ 的子商出现。
• $H^i_{\mathcal{C}_{\mathcal{M}}}(M_\infty)$ 被证明在 $\mathcal{M}$ 为 $p$-进形式概形时与标准紧支集上同调 $H^i_c(M_\infty)$ 一致，验证了新上同调作为自然推广的合理性。
• 本文表明，当 $n=2$ 时，$H^2_c(M_\infty / p^{\mathbb{Z}})$ 的 $G$-极大紧部分为零，因为 $\dim \mathcal{M}^{\mathrm{red}} = 1$，从而推广了 [Ito-Mieda] 的结果。
• 作者推测拉波普特-津塔塔的上同调可能实现局部 $A$-包，其中 $\pi \otimes \rho^\vee$ 与 $\pi \otimes \rho^{\prime\vee}$ 出现在 $H^3_c(M_\infty / p^{\mathbb{Z}})$ 中，而 $\pi \otimes \operatorname{Zel}(\rho)^\vee$ 出现在 $H^4_c(M_\infty / p^{\mathbb{Z}})$ 中，暗示了 $A$-包与上同调对偶性之间可能存在联系。
• 该方法被证明可推广至其他拉波普特-津塔塔，依据在于 [Mie13] 中几何性质的适用性，作者计划在未来工作中将结果扩展至 $\mathrm{GSp}(4)$。