[论文解读] Lefschetz trace formula and l-adic cohomology of Rapoport-Zink tower for GSp(4)

Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 28被引用 5

一句话总结

该论文将Lefschetz迹公式应用于GSp(4)的Rapoport-Zink上层，表明GSp(4)及其内形的局部Jacquet-Langlands对应关系在ℓ-进上同调中出现。在L-包与稳定性假设下，上同调的交错和以因子-4实现该对应关系，证实了上同调中局部Langlands对应关系的存在。

ABSTRACT

We investigate the alternating sum of the l-adic cohomology of the Rapoport-Zink tower for GSp(4) by the Lefschetz trace formula. Under some assumptions on L-packets of GSp(4) and its inner form, we observe that the local Jacquet-Langlands correspondence appears in the cohomology.

研究动机与目标

• 使用Lefschetz迹公式研究GSp(4)的Rapoport-Zink上层的ℓ-进上同调。
• 在上同调中验证GSp(4)及其内形的局部Langlands对应关系。
• 确立局部Jacquet-Langlands对应关系在上同调群交错和中的出现。
• 分析G(Qp) × J(Qp)在上同调上的作用，并通过迹公式将其与L-包联系起来。

提出的方法

• 对adique空间应用Lefschetz迹公式，以计算Rapoport-Zink上层上同调上的迹。
• 利用周期映射和p进Hodge理论，计算(G(Qp) × J(Qp)中元素(g,h)在Rapoport-Zink空间上的不动点数。
• 通过稳定Weyl积分公式，关联G与J上的稳定轨道积分。
• 利用L-包的特征关系，并假设L-包的稳定性，以比较迹。
• 在光滑表示范畴中利用Ext-群定义虚拟表示H_RZ[ρ]。
• 利用紧开子群的特征函数仅在正则椭圆元素上非零的事实，以简化迹的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 GSp(4)及其内形的局部Jacquet-Langlands对应关系是否在Rapoport-Zink上层的ℓ-进上同调中出现？
• RQ2 Lefschetz迹公式能否应用于GSp(4)的非拟紧Rapoport-Zink空间，以计算上同调迹？
• RQ3 在G(Qp) × J(Qp)作用下，GSp(4)及其内形的L-包如何与上层的上同调相关联？
• RQ4 上同调表示的迹与L-包表示的迹之间的精确乘法因子是什么？
• RQ5 在何种条件下，上同调表示具有有限长度，从而可进行特征理论分析？

主要发现

• 上同调的交错和H_RZ[ρ]以因子-4实现局部Jacquet-Langlands对应关系：对正则椭圆f，有∑ρ∈ΠϕJ Tr(f; H_RZ[ρ]) = -4∑π∈ΠϕG Tr(f; π)。
• 对正则椭圆g ∈ G(Qp)，分布特征函数满足∑ρ∈ΠϕJ θH_RZ[ρ](g) = -4∑π∈ΠϕG θπ(g)，以特征形式确认了该对应关系。
• 若Ext-群具有有限长度，则虚拟表示H_RZ[ρ]具有良定义的特征函数，且该特征关系对所有正则椭圆元素成立。
• 当φ在SL2(C)上离散且平凡时，上同调中第3度的上同调的超临界部分包含每个π ∈ ΠϕG的对偶。
• 该结果与预期一致：GSp(4)及其内形的局部Langlands对应关系在Rapoport-Zink上层的上同调中实现。
• 该方法扩展了Faltings与Strauch的方法，适用于非紧致、非EL型的Rapoport-Zink空间，克服了非紧致性与Langlands对应非双射带来的困难。