[论文解读] Zeta functions of Ramanujan graphs and modular forms

Kennichi Sugiyama|arXiv (Cornell University)|May 10, 2019

Graph theory and applications被引用 3

一句话总结

本文建立了拉马努金图的伊哈拉 zeta 函数与有限域上模曲线 $X_0(N)$ 的 Hasse-Weil zeta 函数之间的深刻联系。通过从上同调椭圆曲线的 Brandt 矩阵构造一个 $(p+1)$-正则拉马努金图 $G_N(p)$，作者证明了这两个 zeta 函数互为倒数，并推导出权为 2 的 Hecke 特征形式傅里叶系数的同余关系，通过类数公式类比将图的复杂度与模形式联系起来。

ABSTRACT

We will investigate the relationship between Ihara's zeta functions of Ramanujan graphs and Hasse-Weil's congruent zeta functions of modular curves. As an application we will describe the limit value of Hasse-Weil's congruent zeta functions in terms of the corresponding Ramanujan graphs. Moreover we will show a congruence relation of the Fourier coefficients of a normalized Hecke eigenform of weight 2.

研究动机与目标

• 探索拉马努金图的伊哈拉 zeta 函数与有限域上模曲线的 Hasse-Weil zeta 函数之间的关系。
• 当 $N \equiv 1 \pmod{12}$ 时，从上同调椭圆曲线的 Brandt 矩阵构造一族拉马努金图 $G_N(p)$。
• 在 $G_N(p)$ 与 $X_0(N)_\mathbb{F_p}$ 的 zeta 函数之间建立互为倒数的关系，推广类数公式类比。
• 推导出 $\Gamma_0(N)$ 上权为 2 的归一化 Hecke 特征形式傅里叶系数的同余关系。

提出的方法

• 利用 Hecke 算子 $T_p$ 在 $\overline{\mathbb{F}}_N$ 上作用于上同调椭圆曲线的 Brandt 矩阵 $B(p)$ 所导出的邻接矩阵构造图 $G_N(p)$。
• 通过 Eichler-Shimura 关系与 Weil 猜想的谱界，证明当 $N \equiv 1 \pmod{12}$ 时，$G_N(p)$ 是连通的 $(p+1)$-正则拉马努金图。
• 利用 Grothendieck-Lefschetz 跟踪公式，将 $X_0(N)_\mathbb{F_p}$ 的 Hasse-Weil zeta 函数表示为 $l$-进平展上同调与 Frobenius 作用的函数。
• 通过涉及 $T_p$ 特征值的行列式恒等式，建立 Ihara zeta 函数 $Z(G_N(p);t)$ 与 Hasse-Weil zeta 函数 $W(X_0(N)_\mathbb{F_p};t)$ 之间的互为倒数关系。
• 将图 $G_N(p)$ 的复杂度 $\tau(G_N(p))$ 与 Hasse-Weil zeta 函数在 $t=1$ 处的极限联系起来，得到类似于类数公式的公式。
• 推导出和 $\mu_N(p) = \sum_{i=1}^{n-1} a_p(f_i)$ 的同余关系，表明当 $p$ 满足 $p+1 \equiv 0 \pmod{n}$ 时，该和可被 $n = (N-1)/12$ 整除。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉马努金图的伊哈拉 zeta 函数与有限域上模曲线的 Hasse-Weil zeta 函数之间有何关系？
• RQ2 能否用拉马努金图的 zeta 函数来表达或恢复模曲线 $X_0(N)$ 的 Hasse-Weil zeta 函数？
• RQ3 所构造的拉马努金图 $G_N(p)$ 的复杂度 $\tau(G_N(p))$ 具有何种算术意义？
• RQ4 权为 2 的 $\Gamma_0(N)$ 上 Hecke 特征形式的傅里叶系数 $a_p(f_i)$ 之和是否满足模 $n = (N-1)/12$ 的同余关系？
• RQ5 图邻接矩阵 $B(p)$ 的谱性质能否用于推导模形式的算术不变量？

主要发现

• Hasse-Weil zeta 函数 $W(X_0(N)_\mathbb{F_p};t)$ 与 Ihara zeta 函数 $Z(G_N(p);t)$ 互为倒数：$W \cdot Z = \frac{1}{(1-t)^2(1-pt)^2(1-t^2)^{n(p-1)/2}}$。
• 极限 $\lim_{t\to 1} (t-1)W(X_0(N)_\mathbb{F_p};t)$ 等于 $\frac{n \tau(G_N(p))}{p-1}$，将图的复杂度与 zeta 函数的留数联系起来。
• 图 $G_N(p)$ 是连通的 $(p+1)$-正则拉马努金图，且非二分图，其特征值满足 $|\lambda| \leq 2\sqrt{p}$。
• 归一化 Hecke 特征形式的傅里叶系数 $a_p(f_i)$ 满足：当 $p$ 满足 $p+1 \equiv 0 \pmod{n}$ 时，有 $\sum_{i=1}^{n-1} a_p(f_i) \equiv 0 \pmod{n}$。
• 复杂度 $\tau(G_N(p))$ 满足不等式 $\frac{(√p-1)^{2(n-1)}}{n} \leq \tau(G_N(p)) \leq \frac{(√p+1)^{2(n-1)}}{n}$。
• 数值表格证实，当 $N=37, 61, 73$ 时，$\mu_N(p) = \sum a_p(f_i)$ 可被 $n$ 整除，显式计算表明 $\mu_N(p) \in n\mathbb{Z}$。