[논문 리뷰] (1+1)-dimensional formalism and quasi-local conservation equations

Jong Hyuk Yoon|arXiv (Cornell University)|2002. 12. 09.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 (1+1)-차원으로의 3+1차원 일반 상대성 이론의 축소를 섬유 다발 기하학을 사용하여 수립하며, 에너지, 선형 운동량, 각운동량에 대한 정확한 준국소적 보존 법칙을 불변의 두차원 표면 적분으로 유도한다. 이 법칙들은 무한한 영역에서 빛의 표면에서 봄디 유형의 유량으로 감소하고, 준국소적 시공간의 경계면에서 프라이스-ثور너의 경계면 방정식과 일치하며, Killing 대칭성보다 더 약한 조건에서도 캐러의 네 번째 상수와 유사한 새로운 준국소적 유사 상수가 나타난다.

ABSTRACT

A set of exact quasi-local conservation equations is obtained in the (1+1)-dimensional description of the Einstein's equations of (3+1)-dimensional spacetimes. These equations are interpreted as quasi-local energy, linear momentum, and angular momentum conservation equations. In the asymptotic region of asymptotically flat spacetimes, it is shown that these quasi-local conservation equations reduce to the conservation equations of Bondi energy, linear momentum, and angular momentum, respectively. When restricted to the quasi-local horizon of a generic spacetime, which is defined without referring to the infinity, the quasi-local conservation equations coincide with the conservation equations on the stretched horizon studied by Price and Thorne. All of these quasi-local quantities are expressed as invariant two-surface integrals, and geometrical interpretations in terms of the area of a given two-surface and a pair of null vector fields orthogonal to that surface are given.

연구 동기 및 목표

• 3+1차원 아인슈타인 중력 이론에 대해 (u,v)를 좌표로, (y^a)를 섬유 좌표로 사용하는 섬유 다발 구조를 이용한 (1+1)-차원 형식을 개발한다.
• 에너지, 운동량, 각운동량에 대한 기하학적으로 불변이고 컴acts한 두차원 표면에 정의된 정확한 준국소적 보존 방정식을 도출한다.
• 이 준국소적 방정식들이 비틀림이 없는 시공간에서 향후 빛의 표면에서 표준 봄디 보존 법칙으로 감소함을 보여준다.
• 일반적인 동적 시공간의 준국소적 경계면에서 프라이스와 폴러의 확장된 경계면 보존 법칙과의 등가성을 보여준다.
• 완전한 Killing 대칭성보다 더 약한 조건에서도 존재하는 캐러의 네 번째 상수의 준국소적 유사체를 식별한다.

제안 방법

• 빛의 좌표 (u,v), 섬유 좌표 (y^a), 접속 1형식 (A_±^a)을 포함하는 선형 요소를 사용하여 3+1차원 계량을 (1+1) 기저와 2차원 섬유로 분해한다.
• 섬유에 수직인 수평 벡터장 (ĥ∂₊, ĥ∂₋)을 도입하며, ĥ∂₋를 따라 매개변수 v가 아핀 파라미터로 작용하여 빛의 초면을 정의한다.
• 면적 요소 e^σ과 행렬식이 1인 등각 계량 ρ_ab를 포함하는 불변의 두차원 표면 적분을 통해 준국소적 양을 정의한다.
• v를 시간으로 삼은 (1+1) 해밀토니안 형식을 분석하여, 컴팩트한 2차원 표면 위의 적분-미분 방정식을 도출한다.
• 2차원 표면 위의 벡터장 ξ^a에 沿한 Lie 미분을 적용하여 유량 방정식을 유도하며, 공변 도함수와 비틀림 텐서를 사용한다.
• ∂₊A₊^a = 0 조건에서 발생하는 캐러의 네 번째 상수와 유사한 새로운 준국소적 불변량을 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3+1차원 일반 상대성 이론의 (1+1)-차원 축소에서 에너지, 운동량, 각운동량에 대한 준국소적 보존 법칙을 도출할 수 있는가?
• RQ2 이 준국소적 보존 법칙들이 비틀림이 없는 시공간에서 향후 빛의 표면에서 표준 봄디 유량으로 감소하는가?
• RQ3 일반적인 동적 블랙홀에 대해 프라이스와 폴러가 제시한 확장된 경계면의 보존 법칙을 재현하는가?
• RQ4 준국소적 양의 기하학적 및 물리적 해석은 빛의 기하학과 표면 불변량을 통해 어떻게 이루어지는가?
• RQ5 캐러의 네 번째 상수의 준국소적 유사체가 존재하는가, 그리고 그것이 Killing 대칭성보다 더 약한 조건에서 어떻게 존재하는가?

주요 결과

• 준국소적 에너지, 운동량, 각운동량은 면적 요소 e^σ과 등각 계량 ρ_ab를 포함하는 불변의 두차원 표면 적분으로 표현된다.
• 빛의 무한대에서 도출된 준국소적 보존 법칙은 정확히 봄디 에너지, 운동량, 각운동량 유량을 재현한다.
• 준국소적 경계면에서 보존 방정식은 프라이스와 폴러의 확장된 경계면 방정식과 일치하여, 이 형식이 동적 맥락에서 타당함을 검증한다.
• 이 형식은 ∂₊A₊^a = 0 조건에서 존재하는 캐러의 네 번째 상수와 유사한 새로운 준국소적 불변량을 도출하며, 이는 두 개의 교환 가능한 Killing 벡터장이 필요로 하는 조건보다 더 약한 조건이다.
• 비틀림 텐서 σ_Hab과 확장 θ_H는 자연스럽게 유량 방정식에 나타나며, 후자는 표면 기하학의 시간 진화를 지배한다.
• 같은 유량에 대한 두 가지 다른 표현식이 동치임을 확인하여, (1+1) 해밀토니안 접근의 일관성을 검증한다.