[논문 리뷰] (1,1) forms with specified Lagrangian phase: A priori estimates and algebraic obstructions

Tristan C. Collins, Adam Jacob외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 08.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 36인용 수 50

한 줄 요약

이 논문은 컴acts Kähler 다양체에서 라그랑주 위상 $h(x)$ 가 $|h| > (n-2)\frac{\pi}{2}$ 를 만족하고 하위해가 존재할 때, 변형된 히르미트-양밀스(dHYM) 방정식에 대해 사전 $C^{2,\beta}$ 추정을 수립한다. 연속성 방법을 이용하여 이러한 조건 하에서 초임계 위상 영역에서 부드러운 해의 존재를 증명하고, 해의 존재에 대한 코homological 장벽을 규명하며, 복소 표면의 경우 추측을 확인한다.

ABSTRACT

Let $(X,α)$ be a Kähler manifold of dimension n, and let $[ω] \in H^{1,1}(X,\mathbb{R})$. We study the problem of specifying the Lagrangian phase of $ω$ with respect to $α$, which is described by the nonlinear elliptic equation \[ \sum_{i=1}^{n} \arctan(λ_i)= h(x) \] where $λ_i$ are the eigenvalues of $ω$ with respect to $α$. When $h(x)$ is a topological constant, this equation corresponds to the deformed Hermitian-Yang-Mills (dHYM) equation, and is related by Mirror Symmetry to the existence of special Lagrangian submanifolds of the mirror. We introduce a notion of subsolution for this equation, and prove a priori $C^{2,β}$ estimates when $|h|>(n-2)\fracπ{2}$ and a subsolution exists. Using the method of continuity we show that the dHYM equation admits a smooth solution in the supercritical phase case, whenever a subsolution exists. Finally, we discover some stability-type cohomological obstructions to the existence of solutions to the dHYM equation and we conjecture that when these obstructions vanish the dHYM equation admits a solution. We confirm this conjecture for complex surfaces.

연구 동기 및 목표

• 컴 pact Kähler 다양체에서 주어진 라그랑주 위상 방정식 $\sum_{i=1}^n \arctan(\lambda_i) = h(x)$ 에 대해 사전 $C^{2,\beta}$ 추정을 수립한다.
• 하위해가 존재할 때 초임계 위상 영역에서 변형된 히르미트-양밀스(dHYM) 방정식의 부드러운 해의 존재를 증명한다.
• dHYM 방정식 해의 존재에 대한 코homological 장벽을 규명하고, 그 장벽의 소멸이 해 존재의 충분조건임을 추측한다.
• 복소 표면의 경우 dHYM 방정식에 대한 추측된 안정성 조건을 확인한다.
• 복소기하학에서 비볼록성의 헤시안 유형 방정식으로의 하위해 프레임워크를 확장하여 이전의 $J$-방정식 결과를 일반화한다.

제안 방법

• dHYM 방정식에 대해 Székelyhidi의 하위해 개념을 비볼록 연산으로 일반화한 $\mathcal{C}$-하위해의 개념을 도입한다.
• $|h| > (n-2)\frac{\pi}{2}$ 조건과 하위해 존재 조건 하에서 미세한 곡률 및 라플라시안 비교 기법을 사용하여 $C^{2,\beta}$ 사전 추정을 증명한다.
• dHYM 방정식에 연속성 방법을 적용하여 사전 추정을 활용해 초임계 위상 영역에서 부드러운 해를 구성한다.
• 하위다양체와 관련된 일정한 $(n-1,n-1)$-형식의 양성 조건을 통해 dHYM 해 존재에 대한 코homological 장벽을 유도한다.
• Calabi 추측과 Demailly-Păun의 기준을 이용해 $[\cot(\Theta_X)\alpha + \omega]$ 계열의 Kähler 양성 조건을 특성화하고, 이를 해 존재와 연결한다.
• 곡선 $C \subset X$ 에 대해 부등식 $\Theta_C > \Theta_X - \frac{\pi}{2}$ 를 분석하여 복소 표면에서 추측된 안정성 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라그랑주 위상 $h(x)$ 가 일정하지 않을 때 dHYM 방정식이 부드러운 해를 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 연산자가 볼록성이 없을 경우 dHYM 방정식에 대해 사전 $C^{2,\beta}$ 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ3 dHYM 방정식 해의 존재를 방해하는 코homological 장벽은 무엇이며, 그것들이 해 존재의 충분조건인가?
• RQ4 dHYM 방정식에 대한 추측된 안정성 조건이 복소 표면에서 해 존재와 동치인가?
• RQ5 dHYM 방정식이 $k \to \infty$ 로 수렴할 때의 행동은 $J$-방정식과 하위해 이론과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 사전 $C^{2,\beta}$ 추정은 $|h| > (n-2)\frac{\pi}{2}$ 이고 $\mathcal{C}$-하위해가 존재할 때 dHYM 방정식에 대해 수립된다.
• 연속성 방법을 통해 하위해가 존재할 경우 초임계 위상 영역에서 dHYM 방정식에 대해 부드러운 해가 존재함을 증명한다.
• 하위다양체와 관련된 $(n-1,n-1)$-형식의 양성 조건을 통해 dHYM 해 존재에 대한 코homological 장벽이 규명된다.
• dHYM 해 존재에 대한 추측된 안정성 조건은 복소 표면에서 성립함을 확인한다.
• 복소 표면의 경우, 모든 곡선 $C \subset X$ 에 대해 $\Theta_C > \Theta_X - \frac{\pi}{2}$ 이면 dHYM 방정식의 해가 존재하고 그 역도 성립한다.
• 이 논문은 하위계 위상 영역에서 dHYM 방정식이 해석적으로 불안정할 수 있음을 보이며, $C^{1,\beta}$ 해일지라도 $C^2$ 정규성의 실패 가능성이 있음을 시사한다.